[論文レビュー] The Perihelion Precession of Mercury and the Generalized Uncertainty Principle

Barun Majumder|arXiv (Cornell University)|May 12, 2011

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、一般化不確定性原理（GUP）におけるプランク長さの線形項が水星の近日点移動に与える影響を調査する。ハミルトニアンの摂動的手法に基づくハミルトニアン・ベクトル形式を用いて、予測される近日点移動率を導出し、観測的制約からプランク長さよりも約40桁小さい新たな中間長さスケールの下限を設定した。その結果は、水星の異常な近日点移動に関する観測と整合的である。

ABSTRACT

Very recently authors in [1] proposed a new Generalized Uncertainty Principle (or GUP) with a linear term in Plank length. In this Letter the effect of this linear term is studied perturbatively in the context of Keplerian orbits. The angle by which the perihelion of the orbit revolves over a complete orbital cycle is computed. The result is applied in the context of the precession of the perihelion of Mercury. As a consequence we get a lower bound of the new intermediate length scale offered by the GUP which is approximately 40 orders of magnitude below Plank length.

研究の動機と目的

• 最近提案されたプランク長さの線形項を含む一般化不確定性原理（GUP）が、古典的軌道力学に与える影響を検討すること。
• このようなGUP項が、一般相対性理論を越えて水星の異常近日点移動に寄与できるかどうかを調査すること。
• 水星の観測された近日点移動データを用いて、線形GUP項によって導入される新たな中間長さスケールの下限を導出すること。
• 特に惑星運動の弱い場の領域において、GUPモデルが天体観測と整合的であるかどうかを検証すること。

提案手法

• プランク長さの線形項を含むGUPから導かれるハミルトニアンに対して摂動的アプローチを採用し、標準的なケプラーハミルトニアンに対する小さな補正として扱う。
• 近日点の移動率を計算するためにハミルトニアン・ベクトル形式を用い、ハミルトニアン・ベクトルの移動率が近日点の移動率に等しいという事実を活用する。
• ポアソン括弧式形式を用いて、摂動ハミルトニアン下でのハミルトニアン・ベクトルの時間微分を計算し、移動周波数の式を得る。
• 離心率と半ラティス・レクトゥム（半通径）といった軌道要素を用いて、1周期にわたる移動率を統合し、解析的および数値的に移動角を評価する。
• GUPパラメータ $ l = l_0 l_{pl}/\hbar $（ここで $ l_0 $ は次元なしパラメータ）と、移動角との関係 $ \Delta\theta \propto l_0 \times \text{観測可能なパラメータ} $ を用いる。
• 一般相対性理論を考慮した後の観測された残差近日点移動と、GUPモデルによる理論的移動角を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化不確定性原理（GUP）におけるプランク長さの線形項が、水星の近日点移動に寄与できるか？
• RQ2 水星の軌道の文脈において、線形GUP項が予測する移動角の大きさはどの程度か？
• RQ3 水星の近日点移動の観測的制約をもとに、新たな中間長さスケール $ l_0 l_{pl} $ に対してどの程度の下限を設定できるか？
• RQ4 摂動的GUPモデルは、一般相対性理論や他の量子重力モデルに比べて、異常近日点移動を説明する上でどのように異なるか？
• RQ5 GUPモデルは、一般相対性理論の予測を超えて検出可能なずれがない水星の軌道と整合的か？

主な発見

• プランク長さの線形項を含むGUPモデルは、1回軌道を回るごとに $ \Delta\theta = 2.3209 \times 10^{28} \times l_0 $ ラジアンの近日点移動角を予測する。
• 一般相対性理論を差し引いた観測された残差近日点移動と比較することで、論文は $ l_0 \geq 7.31 \times 10^{-40} $ の下限を導出する。
• この下限は、約 $ 7.31 \times 10^{-40} \times l_{pl} $ の新たな中間長さスケールに対応し、これはプランク長さよりも約40桁小さい。
• この結果は、線形GUP項によって導入される新たな長さスケールが、観測と整合的であるためには $ 10^{-75} $ メートル未満でなければならないことを示唆する。
• 研究は、プランク長さ未満のスケールにありながらも、高精度な軌道力学において測定可能な効果を持つ可能性があることを確認した。
• この結果は、非可換幾何学モデルからの以前の結果とも整合しており、最小長さスケールが約 $ 10^{-75} $ メートルであると制限されている。