[論文レビュー] The period-index problem in WC-groups II: abelian varieties

Pete L. Clark|ArXiv.org|Jun 8, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、数体および $ p $-進体上のアーベル多様体に対する主同次空間の周期・指数問題を調査し、$ g $ 次元のアーベル多様体に対して、素数位数 $ p $ の torsor の指数が $ p^g $ に達する可能性があることを確立している。Cassels や Lichtenbaum の古典的結果を高次元に拡張し、O'Neil の周期・指数障害のアーベル多様体版を用いて、有界次数の拡大体上でもシャファレヴィチ＝タイト群の $ p $- torsion が任意に大きくなることを証明している。

ABSTRACT

We study the relationship between the period and the index of a principal homogeneous space over an abelian variety, obtaining results which generalize work of Cassels and Lichtenbaum on curves of genus one. In addition, we show that the p-torsion in the Shafarevich-Tate group of a fixed abelian variety over a number field k grows arbitrarily large when considered over field extensions l/k of bounded degree. Essential use is made of an abelian variety version of O'Neil's period-index obstruction.

研究の動機と目的

• 既に楕円曲線に対して知られていた周期・指数問題に関する古典的結果を、高次元のアーベル多様体へ一般化すること。
• 数体および $ p $-進体上での素数周期 $ p $ で、指数が少なくとも $ p^g $ である主同次空間の存在を確立すること。
• 有界次数の拡大体上でのシャファレヴィチ＝タイト群の $ p $- torsion の増大を分析すること。
• torsor の分裂体を研究するために、O'Neil の周期・指数障害のアーベル多様体版を開発・適用すること。
• 特に、主に極分類されたアーベル多様体の文脈において、周期と次元を用いて torsor の指数に対する明示的な上界を提示すること。

提案手法

• Galoisコホホロジーと $ A[p] $ をGalois加群としての構造を用いて、O'Neilの周期・指数障害をアーベル多様体に適応する。
• p-進体上のアーベル多様体の解析的均一化に関するGerritzenの結果を応用し、分裂体の条件を導出する。
• スカラーの制限を用いて、$ p $-進体から数体および分岐しない拡大に結果を拡張する。
• Weil対合とGalois表現論を用いて、有限拡大上で $ A[p] $ および $ NS(A) $ を自明化する。
• $ GL_N(\mathbb{Z}) $ の有限部分群に対する境界を適用し、Néron-Severi群上のGalois作用を自明化するために必要な拡大体の次数を制御する。
• これらの技法を統合し、$ H^1(k,A)[n] $ 内の torsor の指数に対する一様な上界を導出し、特定の条件下でそれが $ (g!)n^g $ を割ることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体および $ p $-進体上の高次元アーベル多様体に対して、種数1曲線の周期・指数問題を一般化できるか？
• RQ2 数体または $ p $-進体上の $ g $ 次元アーベル多様体上での素数周期 $ p $ の主同次空間の最大指数は何か？
• RQ3 有界次数の拡大体上でのシャファレヴィチ＝タイト群の $ p $- torsion はどのように増大するか？
• RQ4 特にブラウアー群が自明な体上では、高次元アーベル多様体において周期と指数がどの程度一致するか？
• RQ5 アーベル多様体版のO'Neilの周期・指数障害を用いて、torsor の分裂体の次数を制御できるか？

主な発見

• 任意の $ g \to \text{正の整数} $ および素数 $ p $ に対して、十分大きな $ p $-進体または数体上での $ g $ 次元のアーベル多様体 $ A/k $ および周期 $ p $ の torsor $ V \to A $ が存在し、その指数は少なくとも $ p^g $ である。
• $ p $-進体上では、$ n $ が奇数または $ A[n] $ がラグランジュ的Galois加群である場合、$ H^1(k,A)[n] $ 内の torsor の指数は $ (g!)n^g $ で有界である。
• 数体または $ p $-進体の分岐しない拡大体上でも、同様の条件の下で同じ上界が成り立ち、拡大体のサイズについて明示的な境界が得られる。
• 固定された数体上のアーベル多様体のシャファレヴィチ＝タイト群における $ p $- torsion は、有界次数の拡大体に渡るごとに任意に大きくなる。
• アーベル多様体のNéron-Severi群は、次数が高々 $ \#GL_{4d^2}(\mathbb{F}_3) $ の拡大体上で自明化可能であり、極分類の障害を制御できる。
• $ p $-進体上では $ p > g $ のとき、$ i \mid (g!)n^g $ の境界はほぼ最適であり、本稿では一般にこの関係が成り立つと予想している。