[論文レビュー] The Periodic Joint Replenishment Problem is Strongly NP-Hard

Tamar Cohen, Liron Yedidsion|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2015

Optimization and Packing Problems被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、定常需要を伴う整数サイクル時間付きの周期的共同補充問題（PJRP）が強くNP困難であることを証明し、サプライチェーン最適化分野における長年の未解決問題を解決している。著者らは3SATをPJRPに還元することでこれを確立し、PJRPを解くことはNP完全問題を解くのと同程度以上に困難であることを示しており、関連する在庫モデルの複雑さに影響を与える。

ABSTRACT

In this paper we study the long-standing open question regarding the computational complexity of one of the core problems in supply chains management, the periodic joint replenishment problem. This problem has received a lot of attention over the years and many heuristic and approximation algorithms were suggested. However, in spite of the vast effort, the complexity of the problem remained unresolved. In this paper, we provide a proof that the problem is indeed strongly NP-hard.

研究の動機と目的

• 定常需要を伴う周期的共同補充問題（PJRP）の計算複雑性に関する長年の未解決問題を解消すること。
• 特に整数サイクル時間制約下でのPJRPがNP困難か、強くNP困難かを特定すること。
• 一般JRPおよび厳密PJRPなどの関連モデルと比較して、PJRPの複雑さの状態を明確にすること。
• 3SATからPJRPへの形式的な還元を提供し、問題の非効率性を示すこと。

提案手法

• 著者らは、3SAT問題から周期的共同補充問題（PJRP）への多項式時間還元を構築した。
• 変数と節を商品および共同発注コストにマッピングすることで、3SATの真理値割り当てを在庫コストでモデル化するコスト関数を定義した。
• 充足可能な3SATの割り当てがPJRPにおいてより低いコストの解に対応するように、還元を保証した。コスト差は特定の不等式で制限された。
• 大きな入力に対してコスト差が成り立つことを保証するため、素数の上限とPolymath8プロジェクトの結果を用いた。
• 充足可能な3SATの割り当てを反映する任意の解は、充足不能な割り当てを反映する解よりも厳密に低いコストを持つことが示され、NP困難性が証明された。
• 有限時間ホライズン版はNP困難であるが、時間ホライズンが多項式時間でないため、強くNP困難であるとは限らない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数サイクル時間と定常需要を伴う周期的共同補充問題（PJRP）は強くNP困難か？
• RQ2 充足可能な割り当てと非充足可能な割り当ての間のコスト差が正であるように、3SATからPJRPへの還元を構築できるか？
• RQ3 一般PJRPモデルの計算複雑性は、厳密PJRPおよびサイクルJRPの変種と比較してどうなるか？
• RQ4 有限時間ホライズン版のPJRPは、無限時間ホライズン版と同じ複雑性を引き継ぐか？

主な発見

• 整数サイクル時間と定常需要を伴う周期的共同補充問題（PJRP）は強くNP困難である。これは、オペレーションズリサーチ分野における長年の未解決問題を解決した。
• 3SATからPJRPへの有効な多項式時間還元が構築され、PJRPを解くことは3SATを解くのと同程度以上に困難であることが示された。
• 充足可能な3SATの割り当てを反映する解は、非充足可能な割り当てを反映する解よりも厳密に低いコストを持つ。コスト差はパラメータαc、αv、p1を含む正の式で下限づけられている。
• 証明は数論の境界とPolymath8プロジェクトの結果に依存しており、十分に大きな入力に対してコスト不等式が成り立つことを保証した。
• 有限時間ホライズン版のPJRPはNP困難であるが、時間ホライズンが多項式時間でないため、強くNP困難であるとは限らない。
• この結果から、P = NPでない限り、PJRPを正確に解く多項式時間アルゴリズムは存在しないことが示され、整数サイクル時間制約下でも問題は依然として困難である。