[論文レビュー] The Perpendicular Bisector Construction in $n$-dimensional Euclidean and Non-euclidean Geometries

Emmanuel Tsukerman|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2012

Mathematics and Applications参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、平面四辺形に既に研究済みの垂直二等分線構成を、(n−2)次元のユークリッド、双曲的、楕円的幾何におけるn頂点多面体へ一般化する。すべての第二世代多面体がその第二後続多面体と透視的であることを証明し、奇数番目および偶数番目の多面体が共通の中心に関して合同であることを示す。この中心は等角点と呼ばれる。等角点は平面における等角点を一般化したものであり、高次元における外接中心に類似した性質を示す。

ABSTRACT

The "Perpendicular Bisectors Construction" is a natural way to seek a replacement for the circumcenter of a noncyclic quadrilateral in the plane. In this paper, we generalize this iterative construction to a construction on polytopes with $n$ vertices in $(n-2)$-dimensional Euclidean, Hyperbolic and Elliptic geometries. We then show that a number of nice properties concerning this iterative construction continue to hold in these geometries. We also introduce an analogue of the isoptic point of a quadrilateral, which is the limit point of the Perpendicular Bisectors Construction, in $\mathbb{R}^{n}$ and prove some of its properties.

研究の動機と目的

• 平面四辺形における垂直二等分線構成を、(n−2)次元のユークリッド、双曲的、楕円的幾何におけるn頂点多面体へ拡張すること。
• 反復的構成によって得られる多面体が、すべての3つの幾何において2ステップごとに透視的であることを確立すること。
• ℝⁿにおける等角点の類似物を定義・分析し、奇数世代および偶数世代の多面体の共通の合同中心として機能させること。
• 既知の平面的結果（類似比や垂足の性質など）を、高次元および非ユークリッド的設定へ一般化すること。

提案手法

• 現在の多面体のn−1個の頂点から形成される(n−1)単体の外心をとることで、反復的に新しい多面体を構成する。
• 射影幾何学を用い、極性と二次曲面を介して、ユークリッド、双曲的、楕円的幾何を実射影空間に埋め込む。
• 極対関係および自己双対点の性質を用いて、P⁽ⁱ⁾とP⁽ⁱ⁺²⁾の間の透視的関係を証明する。
• 等角共役を用いて構成を逆転させ、収束性および極限挙動の分析を可能にする。
• 三角形の相似性と合同線の交点を用いて、奇数世代および偶数世代のすべての多面体が同一の中心に関して合同であることを確立する。
• 等角点は反復的構成の極限として定義され、奇数列および偶数列の両方の合同中心として示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元における垂直二等分線構成は、すべての第二世代多面体間の透視的関係を保存するか？
• RQ2 ℝⁿにおける等角点を反復的構成の極限として定義し、奇数番目および偶数番目の多面体の合同中心として示すことができるか？
• RQ3 ℝⁿにおけるP⁽ⁱ⁾とP⁽ⁱ⁺²⁾間の類似比は、高次元および非ユークリッド的幾何においてどのように振る舞い、平面の比の公式の一般化が存在するか？
• RQ4 高次元において、循環的または共超球的配置が保存されたり逆転したりする条件は何か？

主な発見

• 任意の次元d = n−2および幾何（ユークリッド、双曲的、楕円的）において、すべてのiについて多面体P⁽ⁱ⁾とP⁽ⁱ⁺²⁾は透視的である。
• ユークリッド幾何において、すべての奇数世代多面体P⁽²ᵏ⁺¹⁾は合同であり、すべての偶数世代多面体P⁽²ᵏ⁾も合同であり、同じ合同中心を持つ。
• 奇数列および偶数列の両方の合同中心が一致し、それが等角点として定義される。等角点は平面における等角点をℝⁿに一般化するものである。
• 体積比|P⁽ⁱ⁾| / |P⁽ⁱ⁺²ᵏ⁾|はiに依存せず、kにのみ依存するため、反復の各ステップで一貫したスケーリング挙動を示す。
• ℝ³では、P⁽¹⁾が共超球的でない一方でP⁽²⁾が共超球的であるような例が存在可能であり、これはℝ²では不可能である。
• ℝ²におけるP⁽ⁱ⁾とP⁽ⁱ⁺²⁾間の類似比は1/4(cot α + cot γ)(cot β + cot δ)で与えられ、本稿ではℝⁿにおける類似式が存在するかという未解決の問題を提示する。