[論文レビュー] The Pfaff lattice and the symplectic eigenvalue problem

Yuji Kodama, Virgil U. Pierce|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2008

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティックな下ヘッセンベルク型のラクス行列を持つ Pfaff ラティス階層を研究しており、これは三重対角形に簡略化される。奇数番目の流れは自明であり、偶数番目の流れは不確定 Toda ラティス階層と同値であることが示され、不確定 Toda システムからの直交多項式を通じて歪直交多項式と関連づけられる。

ABSTRACT

The Pfaff lattice is an integrable system arising from the SR-group factorization in an analogous way to how the Toda lattice arises from the QR-group factorization. In our recent paper [{\it Intern. Math. Res. Notices}, (2007) rnm120], we studied the Pfaff lattice hierarchy for the case where the Lax matrix is defined to be a lower Hessenberg matrix. In this paper we deal with the case of a symplectic lower Hessenberg Lax matrix, this forces the Lax matrix to take a tridiagonal shape. We then show that the odd members of the Pfaff lattice hierarchy are trivial, while the even members are equivalent to the indefinite Toda lattice hierarchy defined in [Y. Kodama and J. Ye, {\it Physica D}, {\bf 91} (1996) 321-339]. This is analogous to the case of the Toda lattice hierarchy in the relation to the Kac-van Moerbeke system. In the case with initial matrix having only real or imaginary eigenvalues, the fixed points of the even flows are given by $2 imes 2$ block diagonal matrices with zero diagonals. We also consider a family of skew-orthogonal polynomials with symplectic recursion relation related to the Pfaff lattice, and find that they are succinctly expressed in terms of orthogonal polynomials appearing in the indefinite Toda lattice.

研究の動機と目的

• シンプレクティックな下ヘッセンベルク型ラクス行列の制約下における Pfaff ラティス階層の研究。
• 得られる力学系の構造と可積分性を特定すること、特に奇数番目および偶数番目の流れに注目する。
• 初期行列が実固有値または純虚数固有値を持つ場合の偶数番目流れの不動点を同定すること。
• Pfaff ラティスに関連する歪直交多項式と、不確定 Toda ラティスにおける直交多項式との間の関係を確立すること。
• Pfaff ラティスと既知の可積分系との関係を明らかにすること、特にシンプレクティック幾何学および行列分解の文脈において。

提案手法

• QR分解からTodaラティスが導かれるのと同様に、SR群分解を用いてPfaffラティスを導出する。
• 下ヘッセンベルク型ラクス行列にシンプレクティック構造を課し、三重対角形に強制する。
• 流れの階層を解析し、シンプレクティック制約下で奇数番目の流れが恒等的に消えることを示す。
• Pfaffラティス階層における偶数番目の流れが、KodakaとYeによって導入された不確定Todaラティス階層と同値であることを証明する。
• ラクス行列のダイナミクスに関連するシンプレクティック再帰関係を持つ歪直交多項式の族を構成する。
• 歪直交多項式を不確定Todaラティスからの直交多項式で表現し、構造的対応を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラクス行列がシンプレクティックかつ下ヘッセンベルク型に制約された場合、Pfaffラティス階層の構造はどのようになるか？
• RQ2 このシンプレクティック制約下で、Pfaffラティス階層の奇数番目および偶数番目流れはどのように振る舞うか？
• RQ3 Pfaffラティスの偶数番目流れと不確定Todaラティス階層との関係は何か？
• RQ4 初期ラクス行列が実固有値または純虚数固有値を持つ場合、偶数番目流れの不動点は何か？
• RQ5 シンプレクティック再帰関係を持つ歪直交多項式は、不確定Todaラティスにおける直交多項式とどのように関連しているか？

主な発見

• シンプレクティック制約によりラクス行列は三重対角形に強制され、系の構造が単純化される。
• Pfaffラティス階層における奇数番目の流れは自明であり、シンプレクティック条件下で恒等的に消える。
• Pfaffラティス階層の偶数番目流れは、KodamaとYeが定義した不確定Todaラティス階層と同値である。
• 初期行列が実固有値または純虚数固有値を持つ場合、偶数番目流れの不動点は、ゼロの対角ブロックを有する $2 \times 2$ ブロック対角行列である。
• Pfaffラティスの歪直交多項式は、不確定Todaラティスからの直交多項式を用いて簡潔に表現できる。
• Pfaffラティスの多項式系と不確定Todaラティスの多項式系との間に明確な対応関係が確立され、より深い可積分構造が浮き彫りになる。