[論文レビュー] The Pfaff lattice, Matrix integrals and a map from Toda to Pfaff

Mark Adler, Pierre van Moerbeke|ArXiv.org|Dec 6, 1999

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、gl(∞) を sp(∞) と下三角行列にLie代数分解することにより生じる力学系としてのPfaff格子を導入し、それを特徴付ける双線形恒等式を確立する。主な貢献は、歪対称作用素のスティル・ボレル分解を用いてヘルミート行列積分から対称行列およびシミプレクティック行列積分への双対写像を構成し、Toda格子と深い類似性を示すことであり、Pfaffian tau関数が対称行列および自己双対クaternion的ヘルミート行列の行列積分を支配することを示している。

ABSTRACT

We study the Pfaff lattice, introduced by us in the context of a Lie algebra splitting of gl(infinity) into sp(infinity) and lower-triangular matrices. We establish a set of bilinear identities, which we show to be equivalent to the Pfaff Lattice. In the semi-infinite case, the tau-functions are Pfaffians; interesting examples are the matrix integrals over symmetric matrices (symmetric matrix integrals) and matrix integrals over self-dual quaternionic Hermitean matrices (symplectic matrix integrals). There is a striking parallel of the Pfaff lattice with the Toda lattice, and more so, there is a map from one to the other. In particular, we exhibit two maps, dual to each other, (i) from the the Hermitean matrix integrals to the symmetric matrix integrals, and (ii) from the Hermitean matrix integrals to the symplectic matrix integrals. The map is given by the skew-Borel decomposition of a skew-symmetric operator. We give explicit examples for the classical weights.

研究の動機と目的

• gl(∞) を sp(∞) と下三角行列にLie代数分解することにより、Pfaff格子を新たな可積分系として確立すること。
• Pfaff格子方程式に同等である双線形恒等式のセットを導出し、証明すること。
• Pfaff格子を、対称行列および自己双対クaternion的ヘルミート行列の行列積分に関連づけ、それらのtau関数がPfaffiansであることを示すこと。
• ヘルミート行列積分から対称行列およびシミプレクティック行列積分への明示的写像を構成し、Toda格子とPfaff格子の間の双対性を明らかにすること。
• 歪対称作用素のスティル・ボレル分解が、TodaからPfaff系への写像を規定する代数的機構であることを示すこと。

提案手法

• gl(∞) を sp(∞) と下三角行列にLie代数分解することにより、Pfaff格子を力学系として定義する。
• Pfaff格子の力学を完全に特徴付けるヒロタ型方程式としての双線形恒等式のセットを導出する。
• Pfaff格子のtau関数をPfaffiansとして特定し、特に対称行列上の行列積分による明示的実現を示す。
• 歪対称作用素のスティル・ボレル分解を用いて、ヘルミート行列、対称行列、およびシミプレクティック行列積分の間の明示的写像を構成する。
• 同じ代数的構造が両システムを規定することにより、Toda格子とPfaff格子の間の双対性を確立する。
• 古典的重みに対する明示的例を提示し、提案された写像および構造の整合性と可積分性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pfaff格子は、gl(∞) のLie代数分解から体系的にどのように導出可能か？
• RQ2 Pfaff格子を特徴付ける双線形恒等式は何か？ そして、可積分性とどのように関係するか？
• RQ3 対称行列および自己双対クaternion的ヘルミート行列の行列積分は、Pfaffian tau関数とどのように関係するか？
• RQ4 ヘルミート行列積分から対称行列およびシミプレクティック行列積分への写像を規定する代数的機構は何か？
• RQ5 Pfaff格子はToda格子とどのように関係し、それらの間の双対性の性質は何か？

主な発見

• Pfaff格子は、歪対称設定に一般化されたヒロタ双線形形式を特徴とする双線形恒等式のセットによって完全に特徴付けられる。
• Pfaff格子のtau関数はPfaffiansであり、特に対称行列上の行列積分による明示的実現が可能である。
• 自己双対クaternion的ヘルミート行列上の行列積分からもPfaffian tau関数が得られ、可積分系のクラスが拡張される。
• 歪対称作用素のスティル・ボレル分解を用いて、ヘルミート行列積分から対称行列積分への双対写像が構成される。
• 同様に、ヘルミート行列積分からシミプレクティック行列積分への写像も確立され、Toda格子とPfaff格子の間のより深い代数的双対性が明らかになる。
• 古典的重みに対する明示的例は、提案された写像および構造の整合性と可積分性を確認する。