[論文レビュー] The phase transition for planar Gaussian percolation models without FKG

Stephen Muirhead, Alejandro Rivera+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、FKG不等式や強い相関減衰を仮定せずに、平面ガウス的パーコレーションモデルにおける ℓ = 0 における相転移の存在を確立する。閾値局在化に基づく新規な鋭い閾値基準を導入し、スプライクラム手順を用いてタシオンのRSW理論を適応することで、対称性と弱い相関減衰の仮定のもとで、f ≥ −ℓ のエク cursio nセットが ℓ ≤ 0 では確率1で有界な成分をもち、ℓ > 0 では無限大な成分をもつことを証明する。

ABSTRACT

We develop techniques to study the phase transition for planar Gaussian percolation models that are not (necessarily) positively correlated. These models lack the property of positive associations (also known as the `FKG inequality'), and hence many classical arguments in percolation theory do not apply. More precisely, we consider a smooth stationary centred planar Gaussian field $f$ and, given a level $\ell \in \mathbb{R}$, we study the connectivity properties of the excursion set $\{f \geq -\ell\}$. We prove the existence of a phase transition at the critical level $\ell_{crit}=0$ under only symmetry and (very mild) correlation decay assumptions, which are satisfied by the random plane wave for instance. As a consequence, all non-zero level lines are bounded almost surely, although our result does not settle the boundedness of zero level lines (`no percolation at criticality'). To show our main result: (i) we prove a general sharp threshold criterion, inspired by works of Chatterjee, that states that `sharp thresholds are equivalent to the delocalisation of the threshold location'; (ii) we prove threshold delocalisation for crossing events at large scales -- at this step we obtain a sharp threshold result but without being able to locate the threshold -- and (iii) to identify the threshold, we adapt Tassion's RSW theory replacing the FKG inequality by a sprinkling procedure. Although some arguments are specific to the Gaussian setting, many steps are very general and we hope that our techniques may be adapted to analyse other models without FKG.

研究の動機と目的

• 平面ガウス的パーコレーションモデルにおける FKG 不等式を満たさない場合の相転移の存在を確立すること。
• 対称性と弱い相関減衰の最小限の仮定のもとで、パーコレーションの臨界レベルが ℓ_crit = 0 であることを証明すること。
• 正の関連性が欠如するパーコレーションモデルにおける鋭い閾値分析の一般枠組みを構築すること。
• FKG が成り立たないガウス過程に対し、正の関連性の代わりにスプライクラムによる議論を用いて RSW 理論を適応すること。
• すべての非ゼロレベルラインが確率1で有界であることを示すこと。ただし、ゼロレベルラインの有界性は未解決のまま。

提案手法

• 大スケールにおける閾値位置の局在化の欠如に基づく、新たな鋭い閾値基準を導入する。鋭い閾値は、大スケールにおいて閾値位置が局在化しないことと同値である。
• レベルシフトに対する横断確率の分散と感度を解析することで、大スケールの横断事象における閾値局在化の欠如を証明する。
• 正の関連性の代わりに、中間スケールでの独立性を導入するスプライクラム手順を用いて、タシオンのRSW理論をガウス過程に適応する。
• クロス-X-クロス構成を用いて、複数スケールにわたる横断事象を伝搬させ、二進的アニュラス内にネストされた横断を保証する。
• 繰り返し対数的成長条件を用いた再帰的グルーピングによる議論で、局所的横断事象から任意に大きな横断を構成する。
• ガウス性とハイパーコントラクト性に類似した性質を活用して、尾確率を制御し、臨界において横断確率に一様な下界を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面ガウス的場において FKG 不等式が成り立たない場合、ℓ = 0 で相転移が発生するか？
• RQ2 有限エネルギーや正の関連性に依存せずに、パーコレーションにおける鋭い閾値現象を確立できるか？
• RQ3 正の相関が欠如するガウス過程に対し、RSW理論を適応可能か？
• RQ4 相関減衰と対称性のどの程度の条件が相転移の存在を保証するのに十分か？
• RQ5 平面ガウス的場のすべての非ゼロレベルラインは確率1で有界か？

主な発見

• 任意の滑らかで、定常的かつ中心化された平面ガウス的場で、対称性と弱い相関減衰を満たす場合、臨界レベル ℓ_crit = 0 で相転移が発生する。
• すべての ℓ ≤ 0 に対して、エク cursio nセット {f ≥ −ℓ} は確率1で有界な連結成分しか持たない。
• すべての ℓ > 0 に対して、エク cursio nセット {f ≥ −ℓ} には確率1で一意の無限大な連結成分が存在する。
• 横断事象の閾値が大スケールで局在化せず、レベルの非常に小さな区間内で横断確率がほぼ 0 からほぼ 1 へと急激に変化する。
• 正の関連性が成り立たないガウス過程に対しても、スプライクラム機構を用いてRSW型の議論を成功裏に適応した。
• 証明は、平面性、エルゴドリシティ、対称性、ガウス性（またはハイパーコントラクト性）にのみ依存する一般枠組みを確立した。