[論文レビュー] The Picard-Fuchs equation of a family of Calabi-Yau threefolds without maximal unipotent monodromy

Alice Garbagnati, Bert van Geemen|ArXiv.org|Mar 25, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、シムーラ多様体を介して構成された一パラメータ族のカラビ-ヤウ3次元空間を研究し、最大無単調性モノドロミーの欠如により、そのピカード・フクス方程式が2つの独立した2次超幾何微分方程式に分解されることを示している。主な貢献は、これらの微分方程式の明示的導出と、最大無単調性モノドロミーの欠如が、有理曲線の数え上げに用いられる標準的なミラー対称性の手法を複雑にするという観察である。

ABSTRACT

Recently J.C. Rohde constructed families of Calabi-Yau threefolds parametrised by Shimura varieties. The points corresponding to threefolds with CM are dense in the Shimura variety and, moreover, the families do not have boundary points with maximal unipotent monodromy. Both aspects are of interest for Mirror Symmetry. In this paper we discuss one of Rohde's examples in detail and we explicitly give the Picard-Fuchs equation for this one dimensional family.

研究の動機と目的

• ローデが構成したシムーラ多様体によってパrametrizedされる一様次元族のカラビ-ヤウ3次元空間を分析し、最大無単調性モノドロミーの欠如に注目する。
• この族のピカード・フクス微分方程式を導出し、それが2つの2次超幾何方程式に還元されることを示す。
• 最大無単調性モノドロミーの欠如がミラー対称性に与える影響、特にグロモフ=ウィトテン不変量と解の特定に関する影響を調査する。
• 種数2の曲線と楕円曲線のファイブレーションを通じて、3次元空間のコホモロジーのホッジ的構造を明確化する。
• この族における複素乗法（CM）の発生と、CMを持つ楕円曲線および有理コンformal場理論との関係を検討する。

提案手法

• ホロモーフィック2形式に単位根の共役立方根を作用させる3次元自己同型を有するK3表面と、複素乗法を持つ同種な楕円曲線を用いた構成。
• K3表面と楕円曲線の積を、対角的自己同型で割った商としてカラビ-ヤウ3次元空間を構成し、h^{2,1} = 1 を満たす双有理的カラビ-ヤウ3次元空間が得られる。
• 3次元空間のH^3コホモロジーは、種数2の曲線C_λのH^1コホモロジーのテンソル積と不変性構成を介して実現される。
• 種数2曲線C_λのH^1コホモロジーを支配する既知の超幾何微分方程式からピカード・フクス方程式を導出する。
• C_λ上の自己同型 (x,y) ↦ (x,ξy) がモノドロミー表現の分解を引き起こし、4次ピカード・フクス方程式が2つの2次方程式に分解されることになる。
• サイクリック被覆C_λ → P^1の分岐データから得られるパrametersを持つ超幾何微分作用素を用いて、解空間を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 このカラビ-ヤウ3次元空間族における最大無単調性モノドロミーの欠如は、ピカード・フクス方程式の構造にどのように影響するか？
• RQ2 最大無単調性モノドロミーが欠如している場合、ピカード・フクス方程式からグロモフ=ウィトテン不変量を抽出するための標準的ミラー対称性の手法をどのように適合できるか？
• RQ3 この一パラメータ族のカラビ-ヤウ3次元空間に対するピカード・フクス微分方程式の正確な形は何か？
• RQ4 この構成において、3次元空間のH^3コホモロジーは、種数2曲線のH^1コホモロジーとどのように関係しているか？
• RQ5 この族のカラビ-ヤウ3次元空間が複素乗法を持つ条件は何か？また、関連する楕円曲線の自己準同型代数とどのように関係するか？

主な発見

• 種数2曲線上のZ/3Z対称性の存在により、このカラビ-ヤウ3次元空間族のピカード・フクス方程式は2つの独立した2次超幾何微分方程式に分解される。
• モノドロミー表現はSp(4,C)内の2×2ブロック対角形式をとり、パラメータ空間のいかなる点に対しても最大無単調性モノドロミーを有しないことを示唆する。
• ピカード・フクス方程式の解空間は、サイクリック被覆の分岐指数から得られるパrametersを持つ2つの超幾何関数で張られる。それぞれが2次微分方程式を満たす。
• カラビ-ヤウ3次元空間のH^3コホモロジーは、自己同型で生成される群Gに関するH^1(C_λ, Q) ⊗ H^1(E, Q)のG不変部分空間と同型である。
• この族のカラビ-ヤウ3次元空間が複素乗法を持つのは、関連する種数2曲線のヤコビアンが2つのCM楕円曲線の積に同種であるとき、かつそのときに限る。
• 最大無単調性モノドロミーの欠如は、この族がh^{1,1}=1かつh^{2,1}=73を満たす標準的カラビ-ヤウ3次元空間族のミラーである可能性が低いことを示唆しているが、未解決の可能性のままである。