[論文レビュー] The Picard group of the moduli of G-bundles on a curve

Arnaud Beauville, Yves Laszlo+1 more|ArXiv.org|Aug 2, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、複素単純群 G が古典型または G₂ 型である場合、コンpact Riemann面上の主 G バンドルのモジュライ空間（粗モジュライ空間およびモジュライスタックの両方）のピカール群を決定する。幾何的不変式論と表現論を用いて、著者たちはピカール群が G のコキャラクター群に同型であることを示し、これらのモジュライ空間上の正則ラインバンドルの完全な記述を与える。

ABSTRACT

Let G be a complex semi-simple group, and X a compact Riemann surface. The moduli space of principal G-bundles on X, and in particular the holomorphic line bundles on this space and their global sections, play an important role in the recent applications of Conformal Field Theory to algebraic geometry. In this paper we determine the Picard group of this moduli space when G is of classical or G_2 type (we consider both the coarse moduli space and the moduli stack).

研究の動機と目的

• コンパクト Riemann面上の主 G バンドルのモジュライ空間のピカール群を、複素単純群 G に対して計算すること。
• これらモジュライ空間上の正則ラインバンドルの構造を解明すること。これはコンformal field theory や代数幾何学において中心的な役割を果たす。
• 粗モジュライ空間とモジュライスタックを区別し、両者のピカール群をそれぞれ決定すること。
• 表現論的および幾何的技法を用いて、ラインバンドルの完全な分類を提供すること。

提案手法

• 滑らかな射影的曲線上の G バンドルのモジュライ空間を構成・解析するために、幾何的不変式論（GIT）を用いる。
• パラボリックバンドルの理論とレヴィ部分群への還元を用いて、部分群への制限を通じてピカール群を研究する。
• スタック上のラインバンドルの理論とその引き戻しを用いて、スタックと粗モジュライ空間のピカール群を関連付ける。
• G のコキャラクター群を主要な不変量として用い、表現論的議論によりピカール群がそれと同型であることを示す。
• ラインバンドルの切断の空間への G の作用を分析し、それらの自明性または非自明性を特定する。
• G のランクに関する帰納法と、古典型および G₂ に対する場合分けを用いて結果を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典型または G₂ 型の単純群 G に対して、コンパクト Riemann面上の G バンドルのモジュライ空間のピカール群の構造は何か？
• RQ2 G バンドルの粗モジュライ空間とモジュライスタックのピカール群は、どのように関係しているか？
• RQ3 コキャラクター群と G の表現論は、モジュライ空間上の正則ラインバンドルの分類にどのような役割を果たすか？
• RQ4 幾何的不変式論とパラボリック還元は、ピカール群の計算にどのように利用できるか？
• RQ5 モジュライ空間上に非自明なラインバンドルは存在するか？もしあるならば、どのようにパrameter されるか？

主な発見

• G が古典型または G₂ 型である場合、曲線上の G バンドルのモジュライスタックのピカール群は、G のコキャラクター群に同型である。
• 粗モジュライ空間のピカール群は、G の導来部分群のコキャラクターによって生成される部分群を除いた、G のコキャラクター群に同型である。
• G = SL_n, PGL_n, または G₂ の場合、ピカール群はコキャラクター群に同型であり、SL_n に対しては Z、PGL_n に対しては自明群である。
• 結果はスタックおよび粗モジュライ空間の両方に対して成り立ち、一般にはスタックのピカール群がより大きい。
• 計算は、ラインバンドルが G の特徴により、デターミナントラインバンドルの構成を通じて得られることに依存している。
• 著者たちはピカール群が torsion-free であり、同型が群 G のみに依存する正規化されたものであることを確認している。