[論文レビュー] The Picard Group of the Moduli of Higher Spin Curves

Tyler J. Jarvis|ArXiv.org|Aug 16, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、高次スピン曲線のモジュライスタックおよびそのコン pact化のピカール群を計算し、2-スピン曲線に関するコルナーラの結果を一般化する。タウトロジカルクラスの関係を確立し、r が 2 または 3 で割り切れるとき、r-スピン曲線のモジュライスタックのピカール群に非自明な torsion（4-torsion が 2|r のとき、3-torsion が 3|r のとき）を含むことを証明している。これは、曲線のモジュライのピカール群が torsion-free であるのとは対照的である。

ABSTRACT

This article treats the Picard group of the moduli (stack) of r-spin curves and its compactification. Generalized spin curves, or r-spin curves are a natural generalization of 2-spin curves (algebraic curves with a theta-characteristic), and have been of interest lately because they are the subject of a remarkable conjecture of E. Witten, and because of the similarities between the intersection theory of these moduli spaces and that of the moduli of stable maps. We generalize results of Cornalba, giving relations between many of the elements of the Picard group of the stacks. These relations are important in the proof of the genus-zero case of Witten's conjecture given in math.AG/9905034. We use these relations to show that when 2 or 3 divides r, then the Picard group of the open stack has non-zero torsion. And finally, we work out some specific examples for small values of g and r.

研究の動機と目的

• 2-スピン曲線のピカール群に関するコルナーラの結果を、r ≥ 2 の高次スピン曲線へ一般化すること。
• モジュライスタック $\mathfrak{S}_g^{1/r}$ 及びそのコンパクト化 $\overline{\mathfrak{S}}_g^{1/r}$ のピカール群の構造を記述すること。
• r が 2 または 3 で割り切れるとき、$\text{Pic}\,\mathfrak{S}_g^{1/r}$ に torsion 要素が存在することを特定し、証明すること。
• ピカール群におけるタウトロジカルクラス（ホッジクラス、境界 divisor、およびラインバンドル）の明示的関係を提供すること。

提案手法

• 安定な r-スピン曲線（正則な torsion-free ファイバーをもつラインバンドルを canonical sheaf の r 乗根として持つ）を用いて、$\overline{\mathfrak{M}}_g$ の有限被覆としてモジュライスタック $\mathfrak{S}_g^{1/r}$ 及びそのコンパクト化 $\overline{\mathfrak{S}}_g^{1/r}$ を構成する。
• ピカール群における主要なタウトロジカルクラスを特定する：ホッジクラス λ、境界 divisor Δ_i、および楕円曲線のレベル構造を持つ自己同型に付随するラインバンドル μ^{d/r,±}。
• j-不変量が 0 および 1728 である楕円曲線における明示的な幾何的構成を用い、それぞれ 3r および 4r 次の自己同型を定義し、それらがラインバンドルに作用する様子を解析することで torsion を検出する。
• 幾何的点の自己同型によって誘導される、有限巡回群（例：$\mathbb{Z}/4r\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/3r\mathbb{Z}$）へのホモーモルフィズムを用いて torsion 要素を検出する。
• コホホロジー的技法およびスタック論的メソッドを用いてピカール群を解析し、それによってコarse モジュライ空間のピカール群とは区別する。
• pullback および pushforward を用いた一般化された関係を導出し、r=2 の場合のコルナーラの関係を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の r ≥ 2 に対して、r-スピン曲線のモジュライスタック $\mathfrak{S}_g^{1/r}$ 及びそのコンパクト化 $\overline{\mathfrak{S}}_g^{1/r}$ のピカール群の構造は何か？
• RQ2 $\overline{\mathfrak{S}}_g^{1/r}$ のピカール群におけるタウトロジカルクラス（ホッジクラス、境界 divisor、ラインバンドル）の関係は何か？
• RQ3 $\mathfrak{S}_g^{1/r}$ のピカール群は、r が 2 または 3 で割り切れるとき torsion を含むか？ もし含むならば、その位数は何か？
• RQ4 r=2 の場合のタウトロジカルクラスの関係を高次の r へ一般化できるか？
• RQ5 低 genus（例：genus 1 または一般の g に対して r=2）における $\mathfrak{S}_g^{1/r}$ のピカール群は何か？

主な発見

• 2|r のとき、$\text{Pic}\,\mathfrak{S}_g^{1/r}$ は 4-torsion を含む。これは $\mathbb{Z}/4r\mathbb{Z}$ へのホモーモルフィズムで、像の位数が 4 であることを示す。
• 3|r のとき、$\text{Pic}\,\mathfrak{S}_g^{1/r}$ は 3-torsion を含む。これは $\mathbb{Z}/3r\mathbb{Z}$ へのホモーモルフィズムで、像の位数が 3 であることを示す。
• $\text{Pic}\,\overline{\mathfrak{S}}_g^{1/r}$ においてホッジクラス λ と境界 divisor クラスは独立である。これは torsion の存在を確立する上で重要なステップである。
• genus 1 および一般の r に対して、$\text{Pic}\,\mathfrak{S}_g^{1/r,(d)}$ は、d=2 のとき $\mathbb{Z}/2r\mathbb{Z}$、d=3 のとき $\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$、d>3 のとき $\mathbb{Z}/(r/d)\mathbb{Z}$ であると予想される。
• r=2 かつ g>2 のとき、偶数または奇数のスピン曲線のモジュライスタックのピカール群は、$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ であると予想され、μ と λ が生成元であり、関係式 8μ + 4λ = 0 が成り立つ。
• 結果はコルナーラの r=2 の関係を一般化し、r-スピン交差理論の genus-zero バージョンの証明に用いられる主要な関係を提供する。