[論文レビュー] The pillowcase and traceless representations of knot groups II: a Lagrangian-Floer theory in the pillowcase

Matthew Hedden, Christopher M. Herald+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 40被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ピロウケース・オビホルド内の自己同相写像による1次元多様体の埋め込みを用いて、ねじれのない $SU(2)$ 表現のための相対的 ${\mathbb{Z}}/4$-次数付きラグラジアン＝フローリング・チェーン複体を構築する。ホロノミー摂動をチャーン＝サイモンズ汎関数に適用することで、トーラス結び目の特異インスタントンホモロジーを計算し、$(3,4)$ および $(3,5)$ トーラス結び目に対して、複体が完全（微分が消える）にできることが示された。これにより、インスタントンホモロジーがチェーン複体自身と同型であることが導かれる。

ABSTRACT

We define an elementary relatively $\\mathbb Z/4$ graded Lagrangian-Floer chain complex for restricted immersions of compact 1-manifolds into the pillowcase, and apply it to the intersection diagram obtained by taking traceless $SU(2)$ character varieties of 2-tangle decompositions of knots. Calculations for torus knots are explained in terms of pictures in the punctured plane. The relation to the reduced instanton homology of knots is explored.

研究の動機と目的

• ピロウケースにおけるラグラジアン＝フローリング理論を用いて、特異インスタントンホモロジーの明示的計算フレームワークを構築すること。
• 最小限のホロノミー摂動を用いることで、インスタントンチェーン複体の代数的解釈をねじれのない $SU(2)$ 表現の言語に保つこと。
• ピロウケース内での自己同相写像の交点を分析することにより、トーラス結び目の $I^{ atural}(S^3, K)$ を計算すること。
• インスタントンチェーン複体が完全（すなわち微分が自明）となる条件を確立すること。
• 潜在的なスペクトル系列を通じて、新しい不変量とカホヴァンホモロジーとの関係を探索すること。

提案手法

• 結び目の2タングル分解を用い、自明な2ストランドタングルを分離して補足タングル $(Y,T)$ を定義する。
• ねじれのない $SU(2)$ 表現の空間 $R(Y,T)$ が、トーラスのオビホルド商であるピロウケース $P$ に制限写像によって埋め込まれる。
• ホロノミー摂動をチャーン＝サイモンズ汎関数に適用し、自明なタングルの表現空間の摂動された像 $L_0^\epsilon$ をピロウケース内に定義する。
• インスタントンチェーン複体の生成子は、$L_0^\epsilon$ と $R(Y,T)$ の像のピロウケース内での横断的交点に対応する。
• これらの交点から相対的 ${\mathbb{Z}}/4$-次数付きラグラジアン＝フローリング・チェーン複体を構成し、微分はピロウケース内の正則ディスクの数を数える。
• 摂動パrameterに起因する $L_0^\epsilon$ の同相変形を活用し、二重三角形（bigon）ペアを除去し、生成子の数を削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーラス結び目に対して、その結果として得られるインスタントンチェーン複体が完全になるようなホロノミー摂動を構成できるか。
• RQ2 ラグラジアン＝フローリングホモロジー $H^\natural(Y,T,\pi)$ は摂動 $\pi$ の選択にどれほど依存するか。
• RQ3 ラグラジアン＝フローリングホモロジー $H^\natural(Y,T,\pi)$ は、スペクトル系列を通じて縮小されたカホヴァンホモロジーと関係づけられるか。
• RQ4 微分の二乗がゼロでない障害となるフィッシュテイル特異点は、小さな摂動では回避可能か。
• RQ5 ピロウケース法は、結び目およびリンクの $n$-タングル分解へ一般化可能か。

主な発見

• $(3,5)$ トーラス結び目に対して、摂動パrameter $\epsilon$ を 0.2 に増加させ、$\epsilon_A = 0.1$, $\epsilon_B = 0$ とすると、正確に 7 個の交点が得られ、アレクサンダー多項式からの下界と一致する。
• $(3,4)$ トーラス結び目に対して、$\epsilon$ を 0.8 に増加させることで、二重三角形に起因する2つの生成子が消去され、微分が自明な完全複体が得られる。
• $(3,4)$ および $(3,5)$ トーラス結び目に対して、チャーン＝サイモンズ汎関数に摂動を加えたものが完全となるようなホロノミー摂動が存在し、これによりインスタントンチェーン複体内のすべての微分が消える。
• $(4,7)$ トーラス結び目に対しては、二重三角形ペアのうち1つしか $\epsilon$ を増加させることで除去できないが、$L_0^\epsilon$ の正則ホモトピーにより両方を除去でき、完全複体が得られる。
• ラグラジアン＝フローリングホモロジー $H^\natural(L_0, L_1)$ は $L_0$ の正則ホモトピーに対して不変であり、これにより生成子の数を減らすための位相的変形が可能になる。
• 構成手法から、カホヴァンホモロジーから $H^\natural(Y,T,\pi)$ へのスペクトル系列の存在が示唆され、両不変量の間の予想される関係を支持する。