[論文レビュー] The planar algebra of diagonal subfactors

Dietmar Bisch, Paramita Das+1 more|ArXiv.org|Nov 7, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、有限生成で可算な離散群 $G$ と 3-コホモロジー類 $\omega \in H^3(G, \mathbb{T})$ に対して、その対角的サブファクターに関連する平面代数を構成し記述する。平面的オペラッド作用が明示的に 3-コホモロジー類 $\omega$ を含むことを示し、コホモロジー条件に由来する恒等式を通じて自然性を検証することで、自明なコホモロジー類の場合に知られている平面代数構造を非自明な場合に一般化する。

ABSTRACT

There is a natural construction which associates to a finitely generated, countable, discrete group $G$ and a 3-cocycle $ω$ of $G$ an inclusion of II$_1$ factors, the so-called diagonal subfactors (with cocycle). In the case when the cocycle is trivial these subfactors are well studied and their standard invariant (or planar algebra) is known. We give a description of the planar algebra of these subfactors when a cocycle is present. The action of Jones' planar operad involves the 3-cocycle $ω$ explicitly and some interesting identities for 3-cocycles appear when naturality of the action is verified.

研究の動機と目的

• 自明な 3-コホモロジー類の場合に知られている対角的サブファクターの平面代数の記述を、非自明な 3-コホモロジー類 $\omega$ の一般の場合にまで拡張すること。
• ジョーンズの平面的オペラッドがこれらのサブファクターの標準的不変量に作用する際、その作用が明示的に 3-コホモロジー類 $\omega$ を含むことを確立すること。
• この作用の自然性を検証し、コホモロジー条件に由来する新たな代数的恒等式を導出すること。
• 任意の 3-コホモロジー類の障害を有する対角的サブファクターの平面代数構造を、明示的かつ計算可能な形で記述すること。

提案手法

• II$_1$ ファクター $P$ の自己同型 $\theta_i$ を用いて、障害 $[\omega] \in H^3(G, \mathbb{T})$ を持つ $G$-カーネル $\chi: G \to \mathrm{Out}(P)$ から、対角的サブファクター $N \subset M$ を構成する。
• 単位的 $u(s,t)$ を用いて、$u(r,s)u(rs,t) = \omega(r,s,t) \alpha_r(u(s,t)) u(r,st)$ を満たすように、$G$ へのコycle作用 $\alpha: G \to \mathrm{Aut}(P)$ に上昇させる。
• 平面的オペラッドの作用が標準的不変量に与える影響を、高次の相対可換子と条件付き期待値を用いて定義し、平面代数を構成する。
• 標準的不変量への平面的オペラッド作用が明示的に 3-コホモロジー類 $\omega$ に依存することを確立し、コホモロジー恒等式との整合性を検証することで自然性を証明する。
• 写像 $\lambda^{(n)}: M_{n-1} \to \tilde{M}_{n-1} = M_{I^n} \otimes N$ を用いて、平面代数構造と群作用およびコホモロジーの関係を明らかにする。
• 写像 $\gamma$ を通じて、群 $H = \langle \theta_i \rangle \leq \mathrm{Out}(N)$ と $\tilde{H} = \langle g_i^{-1}g_j \rangle \leq G$ が同型であることを示し、コホモロジー構造を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関連する $G$-カーネルが非自明な 3-コホモロジー類の障害 $\omega$ を持つ場合、対角的サブファクターの平面代数はどのように変化するか？
• RQ2 平面的オペラッドが標準的不変量に作用する際、その作用を明示的に 3-コホモロジー類 $\omega$ の言語で記述できるか？
• RQ3 コホモロジー類 $\omega$ が非自明な場合に、平面的オペラッド作用の自然性を要求する際に、どのような代数的恒等式が生じるか？
• RQ4 非自明なコホモロジー類を有する対角的サブファクターの標準的不変量は、群 $G$ とコホモロジー類 $[\omega]$ によって完全に決定されるか？
• RQ5 標準的不変量の同型型は、群 $G$ と障害 $\mathrm{Ob}(\chi) = [\omega]$ とどのように関係するか？

主な発見

• 非自明な 3-コホモロジー類 $\omega$ を持つ対角的サブファクターの平面代数が明示的に記述され、自明なコホモロジー類の場合に知られている結果が一般化された。
• 標準的不変量への平面的オペラッド作用が明示的に 3-コホモロジー類 $\omega$ を含むことが示され、平面代数構造がコホモロジー類 $[\omega] \in H^3(G, \mathbb{T})$ に依存することを示した。
• 平面的オペラッド作用の自然性を検証する過程で、3-コホモロジー条件と同値な恒等式が得られ、群コホモロジーとの整合性が確認された。
• 対角的サブファクターの標準的不変量は、群 $G$ と 3-コホモロジー類 $\omega$ によって完全に決定され、主グラフは $G$ の生成元 $g_i$ に関するカーレイに類似たグラフである。
• 群 $H = \langle \theta_i \rangle \leq \mathrm{Out}(N)$ と $\tilde{H} = \langle g_i^{-1}g_j \rangle \leq G$ は、コホモロジー構造を保存する写像 $\gamma$ を通じて同型である。
• この構成により、$G$ が有限生成で $\omega$ が固定されている場合、対角的サブファクターの平面代数がサブファクターの完全不変量であることが示された。