[論文レビュー] The plane fixed point problem

Robbert Fokkink, John C. Mayer+2 more|ArXiv.org|May 8, 2008

Mathematics and Applications参考文献 29被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、平面の不動点問題における基礎的結果について、きめ細やかな証明を提供し、単純閉曲線上の写像の変動の概念を導入し、鍵となる恒等式 Index = Variation + 1 を確立している。最大の円板内の双曲的弦を用いた素点理論を構築し、不動点をもたない写像に対して変動が −1 である出チャネルの存在と一意性を証明し、ベルの「核となる定理」を任意の領域へ一般化している。中心的貢献は、平面の正に向き付けられた完璧な写像に対して不動点定理を示したことである。このような写像は、任意の不変で分離しないコンパクト集合に不動点をもつ必要がある。

ABSTRACT

In this paper we present proofs of basic results, including those developed so far by H. Bell, for the plane fixed point problem. Some of these results had been announced much earlier by Bell but without accessible proofs. We define the concept of the variation of a map on a simple closed curve and relate it to the index of the map on that curve: Index = Variation + 1. We develop a prime end theory through hyperbolic chords in maximal round balls contained in the complement of a non-separating plane continuum $X$. We define the concept of an {\em outchannel} for a fixed point free map which carries the boundary of $X$ minimally into itself and prove that such a map has a \emph{unique} outchannel, and that outchannel must have variation $=-1$. We also extend Bell's linchpin theorem for a foliation of a simply connected domain, by closed convex subsets, to arbitrary domains in the sphere. We introduce the notion of an oriented map of the plane. We show that the perfect oriented maps of the plane coincide with confluent (that is composition of monotone and open) perfect maps of the plane. We obtain a fixed point theorem for positively oriented, perfect maps of the plane. This generalizes results announced by Bell in 1982 (see also \cite{akis99}). It follows that if $X$ is invariant under an oriented map $f$, then $f$ has a point of period at most two in $X$.

研究の動機と目的

• H. ベルが以前に発表したが完全な証明を含まない基礎的結果について、アクセス可能で包括的な証明を提供すること。
• 恒等式 Index = Variation + 1 を通じて、単純閉曲線上の写像のインデックスと変動の間の関係を確立すること。
• 非分離コンパクト集合の補集合内に含まれる最大の円板における双曲的弦を用いた素点理論を構築すること。
• 非分離コンパクト集合の境界を自分自身へ最小に写像する不動点をもたない写像に対して、変動が −1 である出チャネルの存在と一意性を証明すること。
• ベルの「核となる定理」を球面上の任意の領域へ一般化し、正に向き付けられた完璧な平面写像に対する不動点結果を拡張すること。

提案手法

• 単純閉曲線上の写像の変動の概念を導入・形式化し、恒等式 Index = Variation + 1 を用いてインデックスと関連付ける。
• 非分離コンパクト集合 X の補集合に含まれる最大の円板における双曲的測地線を用いて素点理論を構築する。
• 境界 ∂X を自分自身へ最小に写像する不動点をもたない写像に対して出チャネルを定義し、それが一意的であり、変動が正確に −1 であることを証明する。
• クルカーニ＝ピンカルの分割法を平面へ適応し、最大の円板における双曲的幾何を用いて X の補集合の構造を分析する。
• クルカーニ＝ピンカルの手法を用いて、単連結領域のフォリエーションに関するベルの「核となる定理」を、球面上の任意の領域へ一般化する。
• 平面の正に向き付けられた写像を定義し、それがコンフラuentな完璧な写像と一致することを示し、このような写像が不変で非分離なコンパクト集合に不動点をもつことを示す不動点定理を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面における単純閉曲線上の写像のインデックスと変動の正確な関係は何か？
• RQ2 非分離コンパクト集合の補集合における最大の円板内の双曲的弦を用いて、素点理論をどのように構築できるか？
• RQ3 非分離コンパクト集合の境界を自分自身へ最小に写像する不動点をもたない写像は、常に一意な出チャネルをもつのか？ その変動は何か？
• RQ4 単連結領域のフォリエーションに関するベルの「核となる定理」は、球面上の任意の領域へ拡張可能か？
• RQ5 正に向き付けられ、完璧な平面写像は、任意の不変で非分離なコンパクト集合に常に不動点をもつのか？

主な発見

• 単純閉曲線上の写像に対して、恒等式 Index = Variation + 1 がきめ細やかに証明され、位相的および幾何的不変量の間の根本的なつながりが確立された。
• 境界 ∂X を自分自身へ最小に写像する不動点をもたない写像に対して、変動が正確に −1 である出チャネルが一意に定義され、その性質が保証された。
• クルカーニ＝ピンカルの分割法が平面へ適応され、最大の円板における双曲的幾何に基づく素点理論の構築が可能になった。
• クルカーニとピンカルによる洗練された議論を用いて、ベルの「核となる定理」が単連結領域から球面上の任意の領域へ一般化された。
• 平面の完璧な向き付けられた写像がコンフラuent写像と一致することが示され、このような写像は任意の不変で非分離なコンパクト集合に不動点をもつ必要があることがわかった。
• したがって、任意のコンフラuentな平面写像は、非分離な不変部分コンパクト集合において、周期が2以下の点をもつことが従う。