[論文レビュー] The pluripotential Cauchy-Dirichlet problem for complex Monge-Ampere flows

Vincent Guedj, Hoang Chinh Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℂⁿ の有界強擬凸領域における退化複素 Monge-Ampère 流のための多価ポテンシャル解の基礎理論を確立する。Perron エンvelope が時間に関して半可縮的で空間に関して連続であることを証明し、自然な初期境界条件のもとで、このような正則性を持つ一意解が得られることを示す。

ABSTRACT

We develop the first steps of a parabolic pluripotential theory in bounded strongly pseudo-convex domains of Cn. We study certain degenerate parabolic complex Monge-Amp{\\`e}re equations, modelled on the K{\\"a}hler-Ricci flow evolving on complex algebraic varieties with Kawamata log-terminal singularities. Under natural assumptions on the Cauchy-Dirichlet boundary data, we show that the envelope of pluripotential subsolutions is semi-concave in time and continuous in space, and provides the unique pluripotential solution with such regularity.

研究の動機と目的

• 有界強擬凸領域における退化放物型複素 Monge-Ampère 方程式の多価ポテンシャル理論を構築すること。
• 特に klt 特異性をもつ場合に重要となる、特異データをもつ複素 Monge-Ampère 流の初期境界値問題に取り組むこと。
• Bedford-Taylor および Kołodziej の楕円型多価ポテンシャル理論を放物型設定に拡張し、粘性解法の限界を克服すること。
• Perron エンvelope 法を用いて、多価ポテンシャル解の存在、一意性、正則性を証明すること。
• データの正則性を最小限にした仮定のもとで、解の時間半可縮性と空間連続性を確立すること。

提案手法

• 空間に関して多価サハラモニックで、時間に関して局所一様リプシッツである関数からなる放物型ポテンシャルのクラスを導入する。
• 弱収束および近似技術を用いて、放物型ポテンシャル上での放物型複素 Monge-Ampère 演算子を定義する。
• 初期境界条件を満たすすべてのサブソリューションの点毎の上界として、サブソリューションの Perron エンvelope を構成する。
• コンパクトネスおよび近似の議論を用いて、Perron エンvelope が時間に関して半可縮的で空間に関して連続であることを証明する。
• 滑らか化子による畳み込みとジェンセンの不等式を用いてサブソリューションを正則化し、非線形性の強凸性の下でサブソリューション性を保つ。
• 多価ポテンシャル理論における比較原理および安定性結果を適用し、Perron エンvelope が弱い意味で流れ方程式を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界強擬凸領域における退化複素 Monge-Ampère 流のための多価ポテンシャル理論を構築できるか？
• RQ2 多価ポテンシャルサブソリューションの Perron エンvelope は、時間に関して半可縮的で空間に関して連続な一意解を与えるか？
• RQ3 境界データの正則性を最小限にした仮定のもとで、解は放物的境界でどのように振る舞うか？
• RQ4 粘性解法を klt 特異性を扱えるように一般化する際に、多価ポテンシャル法を用いることで可能になるか？
• RQ5 多価ポテンシャル解の存在および正則性を保証するための必要十分条件は何か？

主な発見

• 多価ポテンシャルサブソリューションの Perron エンvelope は時間に関して半可縮的で空間に関して連続であり、このような正則性を持つ一意解を提供する。
• 解は、初期境界条件を満たすすべてのサブソリューションの点毎の上界として構成される。
• 解は、多価ポテンシャル理論における弱い意味で複素 Monge-Ampère 流方程式を満たす。
• 時間の半可縮性は、近似および滑らか化子による畳み込みの下での安定性を用いて確立される。
• 空間連続性は、サブソリューションの一様リプシッツ正則性およびコンパクトネスの性質から導かれる。
• 解は上半連続極限の意味で境界値を引き継ぎ、初期および側面境界データと整合性を保つ。