[論文レビュー] The polymer quantization in LQG: massless scalar field

Marcin Domagała, Michał Dziendzikowski+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2012

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、質量のないスカラー場のポリマー量力学的量子化がループ量子重力（LQG）と整合することを示し、重力と物質の自由度が結合された一貫性のあるヒルベルト空間を構築した。物理的ヒルベルト空間（量子制約の解）は、従来は仮定されてきたが明示的な実現がなかったが、微分同相変換平均化を用いることで実現可能となり、スカラー制約の両符号の枝（正負の平方根）が統合され、完全で一貫性のある量子化フレームワークが可能になった。

ABSTRACT

The polymer quantization of matter fields is a diffeomorphism invariant framework compatible with Loop Quantum Gravity. Whereas studied by itself, it is not explic- itly used in the known completely quantizable models of matter coupled to LQG. In the current paper we apply the polymer quantization to the model of massless scalar field coupled to LQG. We show that the polymer Hilbert space of the field degrees of freedom times the LQG Hilbert space of the geometry degrees of freedom admit the quantum constraints of GR and accommodate their explicit solutions. In this way the quantization can be completed. That explicit way of solving the quantum constraints suggests interesting new ideas.

研究の動機と目的

• ポリマー量力学的量子化を用いて、LQGにおける物質場の一貫性があり、微分同相変換不変な量子化を確立すること。
• 重力とは異なる方法（例えば、標準的Fock量子化対比ポリマー量力学的量子化）でスカラー場が量子化される既存モデルにおける不整合を解消すること。
• 質量のないスカラー場がLQGに結合された場合の、量子制約の解の物理的ヒルベルト空間を明示的に構成すること。
• ポリマー量力学的量子化を用いて、スカラー制約の両符号の枝（正負の平方根）を一つの一貫性のあるフレームワーク内で統合すること。
• DGKLモデルの導出を完全に完了し、物理的状態空間と力学を明示的に実現すること。

提案手法

• スカラー場にポリマー量力学的量子化を採用し、空間断片上の有限な台を持つ関数でラベル付けされた状態を用いる。
• 場の指数関数 $ U_p = e^{i\sum p_x \varphi(x)} $ で張られるヒルベルト空間を構成し、内積は $ \langle p | p' \rangle = \delta_{p,p'} $ とする。
• スカラー場のポリマーヒルベルト空間とLQGの幾何学的ヒルベルト空間を組み合わせ、全ヒルベルト空間 $ \mathcal{H}_{\text{total}} $ を構成する。
• 全ヒルベルト空間に微分同相変換平均化を適用し、微分同相変換不変状態への射影を実行する。
• 量子制約（スカラーおよびベクトル制約）を明示的に解き、物理的ハミルトニアンを $ \hat{h}_{\text{phys}} = \int d^3x \hat{h}(x) $ として実現する。ここで $ \hat{h}(x) $ は $ \pi(x) = h(x) $ の量子化解である。
• すべての四つの符号の組み合わせ $ \pm h_\pm(x) $ を扱えるようにフレームワークを拡張し、物理的状態の四つの部分空間を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量のないスカラー場のポリマー量力学的量子化は、LQGと一貫して結合可能であり、微分同相変換不変性を保つことができるか？
• RQ2 結合系の物理的ヒルベルト空間は、完全な量子化に必要な量子制約の明示的解を有するか？
• RQ3 ポリマー量力学的量子化を用いて、スカラー制約の両符号の枝（正負の平方根）を一つのフレームワーク内で統合できるか？
• RQ4 DGKLモデルの物理的状態空間は、ポリマー枠組みにおける微分同相変換平均化によって明示的に実現可能か？
• RQ5 ハビタット空間形式を用いて、結合重力-物質系における物理的状態の構造を体系的に分析できるか？

主な発見

• スカラー場のポリマーヒルベルト空間とLQGの幾何学的ヒルベルト空間のテンソル積は、一般相対性理論の量子制約を満たし、明示的な解を許容する。
• 物理的ヒルベルト空間 $ \mathcal{H}_{\text{phys}} $ は、微分同相変換不変ヒルベルト空間 $ \mathcal{H}_{\text{Diff}}^G $ の部分空間として実現され、この構成の整合性が確認された。
• フレームワークにより、スカラー制約のすべての四つの符号の枝（$ \pm h_+ $, $ \pm h_- $）が一つのヒルベルト空間内で統合され、四つの部分空間の直和として構成された。
• 物理的ハミルトニアンは明示的に $ \hat{h}_{\text{phys}} = \int d^3x \hat{h}(x) $ として実現され、ここで $ \hat{h}(x) $ は古典的解 $ \pi(x) = h(x) $ の量子化である。
• ハビタット空間形式は物理的状態の構造を分析するために成功裏に適用され、今後の研究における新たな技術的ツールを提供した。
• 物理的状態空間と力学の明示的実現により、DGKLモデルの導出が完全に完了し、長年の文献上の空白が解消された。