[論文レビュー] The polynomial multidimensional Szemerédi Theorem along shifted primes

Nikos Frantzikinakis, Bernard Host+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、シフトされた素数に沿った多項式多次元Szemerédi定理を確立し、正の上Banach密度をもつℤ^ℓの任意の部分集合が、シフトされた素数において評価された多項式シフトによって定義される構成を含むことを証明する。証明は、高次フーリエ解析からの一様ノルムと、エルゴディック理論および素数論を組み合わせており、密度の高い集合における算術的等差数列や再帰に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

If $\vf_1, ... \vf_m\colon\Z o\Z^\ell$ are polynomials with zero constant terms and $E\subset\Z^\ell$ has positive upper Banach density, then we show that the set $E\cap (E-\vf_1(p-1))\cap\...\cap (E-\vf_m(p-1))$ is nonempty for some prime $p$. We also prove mean convergence for the associated averages along the prime numbers, conditional to analogous convergence results along the full integers. This generalizes earlier results of the authors, of Wooley and Ziegler, and of Bergelson, Leibman and Ziegler.

研究の動機と目的

• 密度の高い集合における算術的等差数列に関する先行結果を一般化し、正の上Banach密度をもつℤ^ℓの任意の集合に対して、シフトされた素数に沿った多項式多次元Szemerédi定理を拡張すること。
• ℤ^ℓにおける正の上Banach密度をもつ任意の集合に対して、p−1（pは素数）によるシフトが、多項式写像によって定義される交差パターンを保存することを確立すること。
• 整数全体における収束を仮定したもとで、素数に沿った重み付き平均を用いた複数のエルゴディック平均の平均収束を証明すること。
• Wooley–Ziegler、Bergelson–Leibman–Ziegler、および著者らの先行研究（線形および二次のパターンに関するもの）を統合・一般化すること。
• 再帰が起こるパラメータnの集合が、シフトされた素数ℙ−1およびℙ+1において正の相対的密度をもつことを示すこと。

提案手法

• Furstenberg対応原理を用いて、組合せ論的問題を可測空間上における可換な測度保存変換をもつ確率空間上のエルゴディック的再帰問題に翻訳する。
• 多項式Szemerédi定理の一様版（定理4.1および推論4.2）を適用し、特定の変換に依存しない一様な下界を保証する。
• Wトリックおよびニル系列の等分布を用いて導かれるvon Mangoldt型重み関数Λ′(n)を用い、算術的等差数列におけるシフトされた素数の分布をモデル化する。
• 算術的等差数列における素数定理および線形形式条件を用い、重み列Λ′(n)の区間における一様性を制御する。
• 主要化測度および主要化列の手法を用いて、素数に沿った平均の収束を算術的等差数列に沿った収束に還元する。
• L²(μ)におけるコーシーの基準を用いて、重み付き複数のエルゴディック平均の収束を証明し、シフトされた素数の相対的密度およびニル系列の構造を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式多次元Szemerédi定理を、p−1およびp+1（pは素数）に沿ったパラメータに制限することは可能か、すなわち、シフトされた素数に沿った構成が成立するか。
• RQ2 多項式シフトに沿った再帰が起こる整数nの集合が、シフトされた素数において正の相対的密度をもつのか。
• RQ3 整数全体に沿った平均の収束を仮定したもとで、素数に沿った複数のエルゴディック平均がL²(μ)で収束する条件は何か。
• RQ4 Wトリックおよびニル系列理論を用いて、一様な再帰結果をシフトされた素数に支持される列に適応することは可能か。
• RQ5 von Mangoldt関数およびその主要化されたバージョンの構造は、ニルシステムにおける多項式軌道の等分布とどのように関係するか。

主な発見

• 任意の正の上Banach密度をもつ集合E ⊂ ℤ^ℓおよび定数項がゼロである多項式写像q_i: ℤ → ℤ^ℓについて、ある素数pに対して、E ∩ (E − q₁(p−1)) ∩ … ∩ (E − q_m(p−1)) は空でない。
• このような再帰が起こる素数pの集合は、シフトされた素数ℙ−1およびℙ+1において正の相対的密度をもつ。
• 整数ℕに沿った平均が収束するならば、素数に沿った複数のエルゴディック平均の平均収束はL²(μ)で成立する。
• 重み付き平均∑_{p≤N} f₁(T^{q₁(n)}x)⋯f_m(T^{q_m(n)}x) / π(N) の収束は、コーシーの基準を用い、主要化列および重み関数の一様性を活用して確立された。
• 証明により、固定されたWおよびWと互いに素なrについて、Wn+rに沿った複数の再帰平均の極小値が、集合の測度および多項式の次数にのみ依存する正の定数で下から抑えられることが示された。
• Wooley–Ziegler（ℓ=1の場合）およびBergelson–Leibman–Ziegler（線形多項式の場合）の先行定理が、定数項がゼロである任意の多項式写像に一般化された。