[論文レビュー] The polynomial representation of the double affine Hecke algebra of type $(C^\vee_n, C_n)$ for specialized parameters

Masahiro Kasatani|ArXiv.org|Jul 17, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、パラメータを特殊化した場合の型$(C^{\nu}_n, C_n)$の二重アフィンヘッケ代数の多項式表現に対して、極を相殺する非対称クーンワインダー多項式の線形結合である修正多項式を用いて、線形基底を構成する。修正相互作用子を用いた帰納的で組合せ論的な手法を提示し、既約性および$Y$-半単純性の条件を確立し、可約の場合の部分表現を零化条件によって特徴付ける。

ABSTRACT

In this paper, we study the polynomial representation of the double affine Hecke algebra of type $(C^\vee_n, C_n)$ for specialized parameters. Inductively and combinatorially, we give a linear basis of the representation in terms of linear combinations of non-symmetric Koornwinder polynomials. The basis consists of generalized eigenfunctions with respect to $q$-Dunkl-Cherednik operators $\hat{Y}_i$, and it gives a way to cancel out poles of non-symmetric Koornwinder polynomials. We examine irreducibility and $Y$-semisimplicity of the representation for the specialized parameters. For some cases, we give a characterization of the subrepresentations by vanishing conditions for Laurent polynomials.

研究の動機と目的

• パラメータを特殊化した場合の型$(C^{\nu}_n, C_n)$のDAHA多項式表現に対して、線形基底を構成すること。特に、表現が非$Y$-半単純または可約である可能性がある場合を含む。
• パラメータの特殊化に起因する非対称クーンワインダー多項式の極の問題と、特殊化パラメータにおける標準的相互作用子の議論の失敗を克服すること。
• 一般化固有関数（修正多項式）を基底とする、組合せ論的かつ帰納的な方法を提供すること。
• 表現が既約または$Y$-半単純のままである条件を特定し、可約である場合の部分表現を特徴付けること。
• 部分表現を、ローレンツ多項式上の零化条件、またはDAHA作用における不変イデアルとして記述すること。

提案手法

• 極を相殺する非対称クーンワインダー多項式の線形結合としての修正多項式を導入し、一般化$Y$-固有関数を構成する。
• これらの修正多項式に作用する修正相互作用子を定義し、帰納的に全表現を生成する。
• アフィンワイル群作用における軌道を分類・関連付けるために、$r-1$-商写像$\lambda \mapsto \lambda^{\mathrm{quot}}$を用いる。
• 負部、優位性、標準形の3段階の還元プロセスを適用し、任意の重みが同値関係$\leftrightarrow$に関してその標準形$\lambda^{\mathrm{std}}$に同値であることを示す。
• $q$-ダンクル・チェレドニク作用素$\widehat{Y}_i$およびその固有関数の構造を活用し、$Y$-半単純性および既約性を分析する。
• チェレドニクのアイデアを模倣したペアリングの議論を用い、ペアリングの核が自明であるかをチェックすることで既約性を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ$q, t, a^*, b^*, c^*, d^*$が、型$(C^{\nu}_n, C_n)$のDAHA多項式表現が既約かつ$Y$-半単純であるための条件は何か？
• RQ2 標準的非対称クーンワインダー多項式がパラメータの特殊化によって極を生じる場合、多項式表現の線形基底をどのように構成できるか？
• RQ3 パラメータを特殊化した場合に表現が可約となったとき、その部分表現の構造はどのようなものか？
• RQ4 修正相互作用子および修正多項式は、非一般的ケースにおける基底の帰納的で組合せ論的な構成をどのように可能にするか？
• RQ5 部分表現は、ローレンツ多項式上の零化条件、またはDAHA作用における不変イデアルとして特徴付けられるか？

主な発見

• パラメータが指定された5つのローレンツ多項式（1）〜（5）の根を避ける限り、多項式表現は既約かつ$Y$-半単純である。これには$t^{(k+1)/m}q^{(r-1)/m} - \omega_m$、$t^{k+1}q^{r-1}a^{*2} - 1$、および$b^*, c^*, d^*$を含む他の条件が含まれる。
• パラメータが（1）〜（5）のいずれかの条件の根に特殊化され、他の条件には当てはまらない場合、極を相殺する非対称クーンワインダー多項式の線形結合である修正多項式を用いて、線形基底を構成できる。
• （1）の場合で$k+1 \geq 2$のとき、表現は可約である。$k+1 = n$のときのみ$Y$-半単純であり、$2 \leq k+1 < n$のときは$Y$-半単純でない。このとき、$N = \lfloor n/(k+1) \rfloor$個のネストされた部分表現$I_1^{(k,r)} \subset \cdots \subset I_N^{(k,r)}$が存在する。
• 部分表現は零化条件によって特徴付けられる。例えば、$I_N^{(k,r)}$は、$r-1$-商に関連する特定の点で零化するローレンツ多項式からなる。
• 同値関係$\lambda \leftrightarrow \lambda^{\mathrm{std}}$は、$r-1$-商を保存する3段階の還元プロセスにより確立され、すべての重みがその標準形に同値であることが示された。
• 修正多項式および修正相互作用子は、標準的相互作用子が極や非半単純性のために失敗する場合でも、基底を体系的かつ帰納的に計算するための有効な手法を提供する。