[論文レビュー] The (Poulsen) simplex of invariant measures

Katrin Gelfert, Dominik Kwietniak|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、周期点の集合に関して、閉じる可能性（closeability）と接続可能性（linkability）という2つの新しい力学的系の性質を導入する。両者が成り立つとき、不変測度の空間は、単一の周期軌道であるか、極点が稠密な一意的なチョケつ簡約（Choquet simplex）であるパウレン・シンプレックス（Poulsen simplex）のいずれかとなる。これらの結果は、一般化された点に関するジムバックの定理を拡張し、特にベータシフトやSギャップシフトを含む広範な系に適用可能であり、指定性を持つ系に限らない。

ABSTRACT

Abstract. Two new concepts, closeability with respect to a set of pe-riodic points and linkability of a set of periodic points of a dynamical system are introduced. Examples are provided to show that closeabil-ity and linkability are independent properties. Both properties together imply that the set of invariant measures is either a single periodic orbit or the Poulsen simplex — the unique non-trivial Choquet simplex in which extreme points are dense. Moreover, under these conditions ev-ery invariant measure has a generic point and an extension of Sigmund’s theorem about generic properties of invariant measures still holds. The periodic specification property implies closeability and linkability for the set of periodic points. The methods apply beyond systems with specification, because all beta-shifts, all S-gap shifts, and many other dynamical systems are closeable with respect to some linkable sets of periodic points. We study simplices of invariant measures of dynamical systems. A dy-

研究の動機と目的

• 力学的系における周期点の集合に関する2つの新しい性質—閉じる可能性（closeability）と接続可能性（linkability）—を定義し、それらを分析すること。
• 不変測度の空間が、極点が稠密な非自明なチョケつ簡約（Choquet simplex）であるパウレン・シンプレックスとなるような条件を確立すること。
• 指定性を持つ系に限らない力学的系に対し、ジムバックの一般化点に関する定理を拡張すること。
• 周期点の集合が閉じる可能性と接続可能性を満たす系が、指定性を持つ系に限らないこと（例：ベータシフトやSギャップシフト）を示すこと。
• 多様な力学的系における不変測度のシンプレックス構造を統一的に理解する枠組みを提供すること。

提案手法

• 周期点の集合に関して『閉じる可能性』を導入し、特定の測度が周期的測度によって近似可能であることを保証する。
• 周期点の構造的条件として『接続可能性』を定義し、周期軌道の連結によって測度を構成可能とする。
• チョケつ簡約の理論を用いて、閉じる可能性と接続可能性の両方が満たされる場合の不変測度空間を特徴付ける。
• これらの条件下で、不変測度の集合が単一の周期軌道であるか、パウレン・シンプレックスであることを確立する。
• ベータシフトやSギャップシフトなどの系にこの枠組みを適用し、周期点の集合が接続可能かつ閉じる可能性を有することを示す。
• 周期的指定性（periodic specification property）が、閉じる可能性と接続可能性の両方を十分条件として満たすことを活用し、既知の結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期点の集合がどのような条件下で、不変測度の空間がパウレン・シンプレックスとなるか？
• RQ2 閉じる可能性と接続可能性は、不変測度に対する一般化点の存在とどのように関係するか？
• RQ3 指定性を持つ系に限らない系に対し、ジムバックの一般化点に関する定理を拡張可能か？
• RQ4 ベータシフトやSギャップシフトなどの系のクラスは、ある周期点の集合に対して、閉じる可能性と接続可能性を満たすか？
• RQ5 周期的指定性と、閉じる可能性と接続可能性の両方の性質との関係は何か？

主な発見

• 周期点の集合が閉じる可能性と接続可能性の両方を満たすとき、不変測度の空間は、単一の周期軌道またはパウレン・シンプレックスのいずれかである。
• パウレン・シンプレックスは、極点（エルゴード測度）が稠密な唯一の非自明なチョケつ簡約である。
• このような系では、すべての不変測度が一般化点を持つことが保証され、ジムバックの結果が一般化される。
• 周期的指定性は、すべての周期点の集合に対して、閉じる可能性と接続可能性の両方を満たす。
• この枠組みは、すべてのベータシフトやSギャップシフトを含む広範な系に適用可能であり、完全な指定性がなくても成立する。
• 閉じる可能性と接続可能性は独立した性質であり、本稿で明示的な例によって示されている。