[論文レビュー] The power of being positive: Robust state estimation made possible by quantum mechanics

Amir Kalev, Charles H. Baldwin+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2015

Quantum Information and Cryptography被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、量子密度行列の正定値制約から導かれるランク-$r$厳密完全な正定値作用素値測定（POVM）が、ノイズ下でも低ランク状態の堅牢な量子状態トモグラフィーを可能にすると提案する。少数のランダムな正規直交基底のみを測定することで、純粋状態または有界ランク状態がすべての量子状態の中で一意に特定可能であり、凸最適化により安定かつノイズ耐性のある再構成が得られる。このことは、さまざまなヒルベルト空間次元における数値シミュレーションで確認された。

ABSTRACT

We study the problem of quantum-state tomography under the assumption that the state of the system is close to pure. In this context, an efficient measurements that one typically formulates uniquely identify a pure state from within the set of other pure states. In general such measurements are not robust in the presence of measurement noise and other imperfections, and therefore are less practical for tomography. We argue here that state tomography experiments should instead be done using measurements that can distinguish a pure state from {\em any} other quantum state, of any rank. We show that such nontrivial measurements follows from the physical constraint that the density matrix is positive semidefinite and prove that these measurements yield a robust estimation of the state. We assert that one can implement such tomography relatively simply by measuring only a few random orthonormal bases; our conjecture is supported by numerical evidence. These results are generalized for estimation of states close to bounded-rank.

研究の動機と目的

• ノイズ下での量子状態トモグラフィー（QST）において、ランク-$r$完全測定が低ランク状態とより高いランクの物理的状態を区別できないという実用的制限に対処すること。
• ランク-$r$厳密完全POVMの概念を導入・形式化し、正定値行列の凸集合内において低ランク状態を一意に特定できることを保証すること。
• このような厳密完全測定が、統計的ノイズや実験的不備が存在する状況でも、凸最適化により堅牢な状態推定を可能にすることを示すこと。
• 少数のランダムな正規直交基底の測定が、低ランク状態に対して厳密完全POVMを生成することを数値的証拠で示すこと。特に、ヒルベルト空間次元に弱い依存性を示すこと。

提案手法

• ランク-$r$厳密完全POVMを、密度演算子の正定値性（正定値性）を活用して、任意のランク$\leq r$の状態が、すべての他の正定値行列から一意に区別できるものとして定義する。
• 任意の厳密完全POVMが、正定値行列の妥当集合上での任意の凸最適化プログラムを解くことにより、堅牢な状態推定を保証することを証明する。
• トレース最小化、最小二乗法、最尤推定を含む、測定データからの量子状態推定のための凸緩和技術を用いる。
• 各基底で$m=300d$回の試行から測定結果をサンプリングし、純粋状態に近い混合状態（$q=10^{-3}$）を生成することで、現実的なQSTシナリオをシミュレートする。
• 測定記録が、すべての正定値行列（PSD行列）の中でターゲット状態を一意に特定できるかどうかをチェックすることで、ランダムな正規直交基底の情報的完全性を数値的にテストする。
• 数値最適化を適用して状態を再構成し、fideliyを評価することで、さまざまな凸プログラムおよびヒルベルト空間次元における堅牢性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク-$r$厳密完全POVMは、測定ノイズや実験的不備が存在する状況でも、堅牢な量子状態推定を保証できるか？
• RQ2 少数のランダムな正規直交基底からの測定が、低ランク量子状態に対してランク-$r$厳密完全POVMを生成できるか？
• RQ3 厳密完全性を達成するための必要な測定基底数は、ヒルベルト空間次元とランクにどのように依存するか？
• RQ4 トレース最小化、最小二乗法、最尤推定などの凸最適化手法は、厳密完全POVMを用いることで、低ランク状態を信頼性高く再構成できるか？
• RQ5 純粋状態および低ランク状態において、厳密完全性を達成するために必要な基底数の経験的閾値は、クイドおよびキュービット系の両方でどの程度か？

主な発見

• $d=21$の場合、わずか5基のランダムな正規直交基底で十分にランク-1厳密完全POVMが得られ、唯一の例外状態を除き、すべての状態が一意に特定可能である。
• $d=11, 21, 31$の場合、6〜8基程度の少数のランダム基底で十分にランク-1厳密完全性が達成され、ヒルベルト空間次元に弱い依存性を示す。
• ノイズ下でも純粋状態または低ランク状態の推定は堅牢である：測定POVMが厳密完全であれば、すべてのテスト凸プログラム（トレース最小化、最小二乗法、最尤推定）が、平均不類似度が$<10^{-3}$の低水準に達する。
• ランク-1とランク-2の厳密完全性のための必要な基底数の差は最小限であり、純粋状態に近い状態のスケーラビリティが効率的であることが示唆される。
• 局所測定はグローバル測定よりも厳密完全性を達成するための基底数を多く要する。$d=16$系の複数キュービット系においてその傾向が明確に観察された。
• 数値シミュレーションにより、厳密完全性が、真の状態が純粋状態とフルランク状態のわずかな混合（$q=10^{-3}$）である場合でも、ターゲット状態に対して高いfideliyで信頼性のある状態再構成を可能にすることが確認された。