[論文レビュー] The Power of Vertex Sparsifiers in Dynamic Graph Algorithms

Gramoz Goranci, Monika Henzinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、頂点疎性化とマイナー自由グラフの構造的性質を活用する新しいアルゴリズムフレームワークを導入し、効率的な完全動的アルゴリズムを設計する。平面的およびマイナー自由グラフにおける電気的フローエネルギーの(1+ε)-近似について、$\tilde{O}(n^{2/3}\varepsilon^{-2})$ の最悪計算量更新時間とクエリ時間を持つ。これは、これらの問題に対して、サブリニアな境界を満たす最初の動的アルゴリズムである。

ABSTRACT

We introduce a new algorithmic framework for designing dynamic graph algorithms in minor-free graphs, by exploiting the structure of such graphs and a tool called vertex sparsification, which is a way to compress large graphs into small ones that well preserve relevant properties among a subset of vertices and has previously mainly been used in the design of approximation algorithms. Using this framework, we obtain a Monte Carlo randomized fully dynamic algorithm for $(1+\varepsilon)$-approximating the energy of electrical flows in $n$-vertex planar graphs with $ ilde{O}(r\varepsilon^{-2})$ worst-case update time and $ ilde{O}((r+\frac{n}{\sqrt{r}})\varepsilon^{-2})$ worst-case query time, for any $r$ larger than some constant. For $r=n^{2/3}$, this gives $ ilde{O}(n^{2/3}\varepsilon^{-2})$ update time and $ ilde{O}(n^{2/3}\varepsilon^{-2})$ query time. We also extend this algorithm to work for minor-free graphs with similar approximation and running time guarantees. Furthermore, we illustrate our framework on the all-pairs max flow and shortest path problems by giving corresponding dynamic algorithms in minor-free graphs with both sublinear update and query times. To the best of our knowledge, our results are the first to systematically establish such a connection between dynamic graph algorithms and vertex sparsification. We also present both upper bound and lower bound for maintaining the energy of electrical flows in the incremental subgraph model, where updates consist of only vertex activations, which might be of independent interest.

研究の動機と目的

• マイナー自由グラフにおける効率的な動的グラフアルゴリズムを設計する一般化されたフレームワークの開発。これは平面グラフを一般化する。
• 従来主に近似アルゴリズムで用いられてきた頂点疎性化と動的グラフアルゴリズムとの間の体系的関係の確立。
• マイナー自由グラフにおける電気的フローエネルギー、全点対最大フロー、全点対最短経路の近似を、サブリニアな更新およびクエリ時間で実現する、最初の完全動的アルゴリズムの提供。
• 特に有界な拡張性と小さなカットをもつグラフにおいて、頂点疎性化の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• フレームワークは、$r$-分割を用いてグラフを$O(n/r)$個の領域に分割し、各領域は$O(r)$個の頂点と$O(\sqrt{r})$個の境界頂点を有する。マイナー自由グラフに既知のカット定理を活用する。
• 各領域に対して、境界頂点間の対間距離を$(2q-1)$の要因内で保持する距離疎性化手順を用いて頂点疎性化器を構築する。
• グローバル再構築技術を用い、$\Theta(n/r)$回の操作ごとにデータ構造を再構築することで、最悪計算量の更新時間の保証を達成する。
• 辺の挿入および削除は、影響を受ける領域の疎性化器の局所的再計算を引き起こし、その償却コストは$\tilde{O}(n^{\xi}r + r^{3/2} + b^2)$で抑えられる。ここで$b = O(\min\{r, \sqrt{r} + n/r\})$である。
• クエリ操作では、すべての領域および$s$と$t$を含む領域の疎性化器から補助グラフ$H$を構築し、$H$上で単一始点最短経路を実行することで、真の最短経路の$(2q-1)$-近似を取得する。
• パラメータ$r = n^{4/7}$および$q \geq 1$を調整することで、フレームワークは最短経路の$\tilde{O}(n^{6/7})$の償却更新時間と$\tilde{O}(qn^{\frac{1}{7}(6+3/q)})$のクエリ時間を達成する。電気的フローエネルギーについては$\tilde{O}(n^{2/3}\varepsilon^{-2})$を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点疎性化は、マイナー自由グラフにおける動的グラフアルゴリズムの設計に体系的になされるべきか？
• RQ2 動的平面的およびマイナー自由グラフにおける$(1+\varepsilon)$-近似電気的フローエネルギーを維持する際、更新時間とクエリ時間のトレードオフは何か？
• RQ3 疎性化を用いて、マイナー自由グラフにおける全点対最大フローおよび最短経路のサブリニアな最悪計算量の更新およびクエリ時間を達成できるか？
• RQ4 $r$-分割における$r$の選択が、動的アルゴリズムの性能にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿は、平面的およびマイナー自由グラフにおける電気的フローエネルギーの$(1+\varepsilon)$-近似を、$\tilde{O}(n^{2/3}\varepsilon^{-2})$ の最悪計算量更新時間およびクエリ時間で達成する、最初の完全動的アルゴリズムを提示する。
• 全点対最短経路問題に関しては、$\tilde{O}(n^{6/7})$の償却更新時間と$\tilde{O}(n^{\frac{1}{7}(6+3/q)})$のクエリ時間（任意の$q \geq 1$）を達成し、$(2q-1)$-近似の保証を有する。
• 電気的フローエネルギーのアルゴリズムは、$\tilde{O}(r\varepsilon^{-2})$の最悪計算量更新時間と$\tilde{O}(r + n/\sqrt{r})\varepsilon^{-2}$のクエリ時間を維持する。$r = n^{2/3}$のとき、これは$\tilde{O}(n^{2/3}\varepsilon^{-2})$に簡略化される。
• フレームワークはマイナー自由グラフに拡張可能であり、その構造的性質と小さなカットを活用することで、平面グラフアルゴリズムを一般化する。
• 著者らは、頂点活性化のみが起こるインクリメンタル部分グラフモデルにおいて、電気的フローエネルギーを維持するための上界と下界を確立した。
• グローバル再構築技術により、最悪計算量の期待更新時間が保証され、動的変更に対してアルゴリズムは強固で効率的である。