[論文レビュー] The power series expansion of Mathieu function and its integral formalism

Yoon-Seok Choun|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2013

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 26被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、三項再帰公式（3TRF）を用いて無限級数解とその積分表現を導出することで、Mathieu関数に対する初の解析的累乗級数展開を閉形式で提示する。主な発見は、被積分関数内に修正ベッセル関数が現れることであり、$ A_n $ の項が増加するにつれて高次の積分が現れる。これにより、従来は数値近似に限られていた解析的取り扱いが可能になる。

ABSTRACT

Mathieu ordinary differential equation is of Fuchsian types with the two regular and one irregular singularities. In contrast, Heun equation of Fuchsian types has the four regular singularities. Heun equation has the four kind of confluent forms: (1) Confluent Heun (two regular and one irregular singularities), (2) Doubly confluent Heun (two irregular singularities), (3) Biconfluent Heun (one regular and one irregular singularities), (4) Triconfluent Heun equations (one irregular singularity). Mathieu equation in algebraic forms is also derived from the Confluent Heun equation by changing all coefficients. In this paper I apply three term recurrence formula [arXiv:1303.0806] to the power series expansion in closed forms of Mathieu equation for infinite series and its integral forms including all higher terms of A_n's. One interesting observation resulting from the calculations is the fact that a modified Bessel function recurs in each of sub-integral forms: the first sub-integral form contains zero term of A_n's, the second one contains one term of A_n's, the third one contains two terms of A_n's, etc. Section 5 contains two additional examples of Mathieu function. This paper is 5th out of 10 in series "Special functions and three term recurrence formula (3TRF)". See section 6 for all the papers in the series. Previous paper in series deals with asymptotic behavior of Heun function and its integral formalism [arXiv:1303.0876]. The next paper in the series describes the power series expansion in closed forms of Lame equation in the algebraic form and its integral forms [arXiv:1303.0873].

研究の動機と目的

• 無限級数形のMathieu関数に対する正確な解析的解を構築し、長年の課題であった数値近似に限られる問題を克服すること。
• 三項再帰公式（3TRF）を用いて、Mathieu関数の累乗級数展開の閉形式表現を導出すること。
• すべての高次係数 $ A_n $ を含む、Mathieu関数の積分形式を確立し、厳密な解析的取り扱いを可能にすること。
• 被積分関数内に現れる修正ベッセル関数の再帰的出現を、含める $ A_n $ 項の数に従って示すこと。
• 係数 $ A_n $ が終了する場合にまで3TRF法を拡張することで、将来のMathieu多項式の解析的解法の基盤を築くこと。

提案手法

• 変数変換 $ x = \cos^2 z $ を用いることで、Mathieu方程式の累乗級数解を代数的形で導出。これにより、$ x=0 $、$ x=1 $ に正則な特異点、$ x=\infty $ に不規則特異点をもつ第二階のFuchs型微分方程式が得られる。
• 級数係数 $ c_n $ に三項再帰公式（3TRF）を適用し、$ c_{n+1} $ の再帰関係を $ A_n $ と $ B_n $ の形で得る。これらはパラメータ $ \lambda $、$ q $ および indicial 根 $ \nu $ で表される。
• 一般解は、$ A_n $ と $ B_n $ 項の異なる組み合わせに対応する無限個の部分級数 $ y_n(x) $ の和に分解され、ネストされた積や和の複雑さが増加する。
• 各 $ y_n(x) $ の閉形式表現は、Pochhammer記号と類似超幾何級数を用いて構築され、再帰係数 $ A_n $ と $ B_n $ を明示的に含む。
• 各部分級数 $ y_n(x) $ に対して積分表現を導出し、修正ベッセル関数が積分構造に自然に現れることを明らかにする。その次数と引数は、含める $ A_n $ 項の数に依存する。
• 既知の極限と整合すること、および最初の被積分関数に $ A_n $ を含まない、第二に一つの $ A_n $ を含む、といったように、積分の再帰的構造が示されることにより、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三項再帰法を用いて、Mathieu関数の累乗級数展開を閉形式で表現することは可能か？
• RQ2 三項再帰公式（3TRF）をどのように応用すれば、Mathieu関数級数展開におけるすべての高次係数 $ A_n $ の解析的表現を得られるか？
• RQ3 修正ベッセル関数は、Mathieu関数の級数成分の積分形式において、どのような役割を果たすか？
• RQ4 無限級数のすべての項、特に高次 $ A_n $ 捕捉を含むように、Mathieu関数の積分表現を体系的に構築することは可能か？
• RQ5 Fuchs型構造と周期的係数を有するMathieu方程式に対して、Heun関数に用いられる3TRF法を一般化することは可能か？

主な発見

• 三項再帰公式（3TRF）を用いて、Mathieu関数の累乗級数展開を閉形式で明示的に表現することに成功。これにより、無限級数解の解析的取り扱いが可能になった。
• Mathieu関数の積分形式は再帰的構造を示し、修正ベッセル関数が被積分関数内の部分積分に現れる。最初の部分積分には $ A_n $ 項がなく、第二には一つの $ A_n $、以降同様に増加する。
• 本手法により、$ A_n $ のすべての高次項に対する正確な表現が得られ、文献に長年存在した数値近似に限られる問題が解決された。
• 指示根 $ \nu = 0 $ および $ \nu = \frac{1}{2} $ の両方に対して無限級数解が導出され、既知のMathieu関数の振る舞いと整合することが確認された。
• 閉形式表現にPochhammer記号と類似超幾何級数が現れることにより、本手法が特殊関数論と整合していることが裏付けられた。
• 本フレームワークは、$ A_n $ が終了する場合にまで3TRF法を拡張することで、将来のMathieu多項式の解析的導出の道筋を提供し、波動方程式や量子系への応用が期待される。