[論文レビュー] The Price of Dynamic Inconsistency for Distortion Risk Measures

Pu Huang, Dan A. Iancu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2011

Risk and Portfolio Optimization参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、累積費用に単一の一貫性のあるリスク尺度を適用する手法と、1ステップごとの一貫性のあるリスクマッピングを組み合わせる手法の2つのマルチペリオドリスク測定フレームワークを比較する。両者の支配関係に関する条件を確立し、近似精度を定量化する指標を導入する。また、非対称性が明らかになる：最もタイトな上界は正確に特徴付け可能である一方、最もタイトな下界は特徴付け不可能であり、一般にはNP困難であるが、条件付きリスク価値（Conditional Value-at-Risk）のような特定のケースでは多項式時間解法が存在する。

ABSTRACT

This paper compares two different frameworks recently introduced in the literature for measuring risk in a multi-period setting. The first corresponds to applying a single coherent risk measure to the cumulative future costs, while the second involves applying a composition of one-step coherent risk mappings. We summarize the relative strengths of the two methods, characterize several necessary and sufficient conditions under which one of the measurements always dominates the other, and introduce a metric to quantify how close the two risk measures are. Using this notion, we address the question of how tightly a given coherent measure can be approximated by lower or upper-bounding compositional measures. We exhibit an interesting asymmetry between the two cases: the tightest possible upper-bound can be exactly characterized, and corresponds to a popular construction in the literature, while the tightest-possible lower bound is not readily available. We show that testing domination and computing the approximation factors is generally NP-hard, even when the risk measures in question are comonotonic and law-invariant. However, we characterize conditions and discuss several examples where polynomial-time algorithms are possible. One such case is the well-known Conditional Value-at-Risk measure, which is further explored in our companion paper [Huang, Iancu, Petrik and Subramanian, Static and Dynamic Conditional Value at Risk (2012)]. Our theoretical and algorithmic constructions exploit interesting connections between the study of risk measures and the theory of submodularity and combinatorial optimization, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• マルチペリオドリスク測定の2つのフレームワーク（単一の一貫性のあるリスク尺度 vs. 組み合わせ的1ステップマッピング）の性能を比較すること。
• 動的設定において、1つのリスク尺度が他方を常に支配するための必要十分条件を特徴付けすること。
• 一貫性のあるリスク尺度とその組み合わせ的境界との間の近似ギャップを定量化するための指標を導入すること。
• 支配関係のテストおよび近似要因の計算の計算複雑性を調査すること。
• 特に条件付きリスク価値（Conditional Value-at-Risk）のような代表的なリスク尺度において、多項式時間アルゴリズムが存在するケースを同定すること。

提案手法

• 本稿は、一貫性のあるリスク尺度とその組み合わせ的近似との間の距離を測る指標を定義し、上界と下界の比較を可能にする。
• 動的設定において、1つのリスク尺度が他方を一貫して支配するための理論的条件（必要かつ十分）を確立する。
• サブモジュラリティおよび組合せ最適化との関連を活用して、構造的洞察とアルゴリズムの実行可能性を導出する。
• 支配関係のテストおよび近似要因の計算が、共モノトニック性および法不変性の下でもNP困難であることを証明する。
• 条件付きリスク価値のような特定のリスク尺度に対しては、多項式時間で解けるケースを同定し、効率的な計算を可能にする。
• 理論的構築を用いて、最もタイトな上界は正確に特徴付け可能であるが、最もタイトな下界は依然として不明であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチペリオド設定において、単一の一貫性のあるリスク尺度がその組み合わせ的対応物を支配する条件は何か？
• RQ2 一貫性のあるリスク尺度は、1ステップマッピングによる組み合わせ的近似でどの程度タイトに近似可能か？最小の近似ギャップは何か？
• RQ3 一貫性のあるリスク尺度の近似において、最もタイトな上界と下界の間に非対称性が生じる理由は何か？
• RQ4 リスク尺度間の支配関係を決定するか、近似要因を計算する際の計算複雑性は何か？
• RQ5 特に代表的なリスク尺度（条件付きリスク価値など）において、近似問題が多項式時間で解けるのはどのようなケースか？

主な発見

• 一貫性のあるリスク尺度に対する最もタイトな上界は正確に特徴付け可能であり、文献に知られた明確な構築に対応する。
• それに対して、最もタイトな下界は容易に特徴付けられないため、近似問題に根本的な非対称性が存在することが明らかになる。
• リスク尺度間の支配関係のテストおよび近似要因の計算は、共モノトニック性および法不変性の下でもNP困難である。
• 一般にはNP困難であるが、条件付きリスク価値のような特定のケースでは多項式時間アルゴリズムが存在する。
• 理論的およびアルゴリズム的進展は、リスク測定とサブモジュラ最適化の深い関係を示しており、リスク分析を越えて広範な影響を及ぼす可能性がある。