[論文レビュー] The Pricing of Multiple-Expiry Exotics

O Hyong-Chol, Mun-Chol Kim|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複数の満期日を持つオプションを統一的に扱うための高次バイナリ・オプションを導入し、Buchenの二満期メソッドを3つ以上の満期日を持つオプションへ拡張する。複雑なペイオフをn次バイナリ・オプションの線形結合として表現し、静的ヘッジを用いることで、偏微分方程式（PDE）の解法を経て閉形式の価格設定式を導出し、定数ボラティリティおよび金利のもとでバミューディアン、エクステンダブル、複数シャウト型オプションの効率的評価を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we extend Buchen's method to develop a new technique for pricing of some exotic options with several expiry dates(more than 3 expiry dates) using a concept of higher order binary option. At first we introduce the concept of higher order binary option and then provide the pricing formulae of $n$-th order binaries using PDE method. After that, we apply them to pricing of some multiple-expiry exotic options such as Bermudan option, multi time extendable option, multi shout option and etc. Here, when calculating the price of concrete multiple-expiry exotic options, we do not try to get the formal solution to corresponding initial-boundary problem of the Black-Scholes equation, but explain how to express the expiry payoffs of the exotic options as a combination of the payoffs of some class of higher order binary options. Once the expiry payoffs are expressed as a linear combination of the payoffs of some class of higher order binary options, in order to avoid arbitrage, the exotic option prices are obtained by static replication with respect to this family of higher order binaries.

研究の動機と目的

• 3つ以上の満期日を持つ複数満期のレア・オプションを統一的に扱う価格設定フレームワークの構築。
• 偏微分方程式（PDE）技術を用いて、Buchenの二満期バイナリ・オプション手法を高次バイナリに拡張すること。
• 複雑なレア・オプションのペイオフを高次バイナリ・ペイオフの線形結合として表現することにより、静的ヘッジを可能にすること。
• ブラック・ショールズPDEを用いてn次バイナリ・オプションの閉形式価格設定式を導出すること。
• バミューディアン、マルチタイム・エクステンダブル、複数シャウト型オプションといった具体的な金融デリバティブへの適用を示すこと。

提案手法

• n次バイナリ・オプションを帰納的に定義し、n次バイナリのペイオフが(n-1)次バイナリであることを示す。
• ブラック・ショールズPDEとFeynman-Kac表現を用いてn次バイナリの価格設定式を導出する。
• 複数満期のオプションの最終ペイオフを高次バイナリ・ペイオフの区分的線形結合として表現する。
• 静的ヘッジの適用：ペイオフが高次バイナリのポートフォリオによって再現可能であるため、オプション価格はそのヘッジポートフォリオの現在価値に等しい。
• 既知の1次および2次バイナリの価格式（例：$ A_K^+ $, $ Q_K^{+} $, $ Q_{KK}^{-+} $）を用いて、高次表現を再帰的に構築する。
• 変数変換 $ y = \ln x $ を用いてブラック・ショールズPDEの初期境界値問題を定数係数PDEに変換し、期待値の公式を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Buchenの二満期バイナリ手法は、3つ以上の満期日を持つオプションへどのように一般化できるか？
• RQ2 n次バイナリ・オプションの数学的構造は何か？ そしてPDEを用いてどのように価格設定できるか？
• RQ3 複雑な複数満期のオプションペイオフは、高次バイナリ・ペイオフの線形結合に分解可能か？
• RQ4 高次バイナリを用いた複数満期のオプションに対する静的ヘッジ戦略は何か？
• RQ5 複数満期のオプションの価格式は、高次バイナリ価格の組み合わせからどのように導かれるか？

主な発見

• 時間 $ t < T_0 $ における固定満期2回シャウト・コール・オプションの価格は、$ Q_{KKK}^{-{-}+} $, $ Q_{KK}^{-+ ight} $, $ A_{KK}^{-+} $, $ A_K^+ $, および $ B_K^+ $ 項と時間依存の割引因子の組み合わせで与えられる。
• $ x > K $ に対して、$ T_0 $ 時点での2回シャウト・オプションの価格は $ G(T_0,T_1,T_2) \cdot x - K \cdot e^{-r(T_2-T_0)} $ である。ここで $ G $ は累積正規分布および2変量正規分布の合成関数である。
• 係数 $ G(T_0,T_1,T_2) $ は、$ e^{-r(T_2-T_1)} + g(T_1,T_2) $, $ e^{-q(T_1-T_0)}N(d^+) $, $ e^{-r(T_2-T_0)}N(-d^-) $, および2変量正規分布項 $ g_1 $ を組み合わせたものである。
• 本手法は、完全な初期境界値問題を解く必要を避け、ペイオフを高次バイナリ・ペイオフの組み合わせとして直接表現することで、静的ヘッジを可能にする。
• 本フレームワークはBuchenの手法を複数満期へ一般化し、再帰的バイナリ分解を用いた複雑なオプションの体系的価格設定を可能にする。
• モデルは定数金利、配当利回り、ボラティリティを仮定しているが、時間に依存する係数への拡張は容易である。