[論文レビュー] The Primitive Equations in the scaling invariant space $L^{\infty}(L^1)$

Yoshikazu Giga, Mathis Gries+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、初期データを有界一様連続および有界$L^1$-値成分に分解した場合、$L^∞(L^1)$というスケーリング不変空間における原始方程式のグローバルな強い適定性を確立する。$L^∞(L^1)$における静水的ストークス半群の写像性質を活用することで、$L^1$-成分の$L^∞(L^1)$ノルムが小さいとき、一意な局所的な弱解が存在することを証明し、初期データが水平周期的である場合には、古典的なナビエ＝ストークス反復枠組みを粗いデータに対して原始方程式へと拡張する。

ABSTRACT

Consider the primitive equations on $\R^2 imes (z_0,z_1)$ with initial data $a$ of the form $a=a_1+a_2$, where $a_1 \in BUC_σ(\R^2;L^1(z_0,z_1))$ and $a_2 \in L^\infty_σ(\R^2;L^1(z_0,z_1))$ and where $BUC_σ(L^1)$ and $L^\infty_σ(L^1)$ denote the space of all solenoidal, bounded uniformly continuous and all solenoidal, bounded functions on $\R^2$, respectively, which take values in $L^1(z_0,z_1)$. These spaces are scaling invariant and represent the anisotropic character of these equations. It is shown that, if $\|a_2\|_{L^\infty_σ(L^1)}$ is sufficiently small, then this set of equations has a unique, local, mild solution. If in addition $a$ is periodic in the horizontal variables, then this solution is a strong one and extends to a unique, global, strong solution. The primitive equations are thus strongly and globally well-posed for these data. The approach depends crucially on mapping properties of the hydrostatic Stokes semigroup in the $L^\infty(L^1)$-setting and can thus be seen as the counterpart of the classical iteration schemes for the Navier-Stokes equations for the situation of the primitive equations.

研究の動機と目的

• 粗いスケーリング不変関数空間における初期データに対する原始方程式のグローバルな強い適定性を確立すること。
• ナビエ＝ストークス方程式の古典的反復スキームを、最小限の正則性仮定のもとで原始方程式へと拡張すること。
• 原始方程式が粗い初期データに対しグローバルに強い解を有するような、最大の関数空間（特に$L^\infty(L^1)$）を同定すること。
• $BUC_\sigma(L^1)$および$L^\infty_\sigma(L^1)$空間を用いて、原始方程式における非等方性の役割を分析すること。

提案手法

• 初期データを$a = a_1 + a_2$と分解し、$a_1 \in BUC_\sigma(L^1)$および$a_2 \in L^\infty_\sigma(L^1)$とすることで、スケーリング不変性と非等方性を活用する。
• $L^\infty(L^1)$設定における静水的ストークス半群を用いて、弱解に対する事前推定を得る。
• $L^\infty$空間における時間重み付き空間での不動点定理を用いて、$\|a_2\|_{L^\infty_\sigma(L^1)}$の小さい条件下で局所的弱解を構成する。
• $L^p$-$L^1$推定および半群の滑らかさ性質を用いて、解の連続性と正則性を確立する。
• 繰り返しの推定を用いた帰納法により、$K_m$および$H_m$の列に対する非線形項の制御を行う。
• 周期性と正則化を用いて、局所解をグローバルな強い解に拡張する。$t>0$以降、解は$W^{1,1}$および$L^p$空間で正則性を獲得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^\infty(L^1)$における初期データに対して、微分可能性の仮定なしに原始方程式がグローバルに適定可能か？
• RQ2 原始方程式がグローバルな強い解を有するような、最大のスケーリング不変関数空間は何か？
• RQ3 $L^\infty(L^1)$設定における静水的ストークス半群はどのように振る舞い、固定点法による解の構成に用いることができるか？
• RQ4 局所的弱解がグローバルな強い解に拡張される条件は何か？
• RQ5 水平周期性は、粗いデータの枠組みにおける解の正則性とグローバル存在性とどのように関係するか？

主な発見

• 初期データが$a = a_1 + a_2$で、$a_1 \in BUC_\sigma(L^1)$かつ$\|a_2\|_{L^\infty_\sigma(L^1)}$が十分に小さいとき、一意な局所的弱解が存在する。
• 解$v$はすべての$p \in (1,\infty)$に対して$C([0,T), BUC_\sigma(L^p))$に属する。これは即時の正則化を示している。
• 初期データが水平周期的である場合、局所的弱解は強い解となり、時間に全域的に拡張可能である。
• 任意の$t>0$以降、解は$BUC(W^{1,1})$および$p \geq 2$の$BUC(L^p)$に属するようになり、既知の正則性理論を用いてグローバル拡張が可能になる。
• 証明は、静水的ストークス半群の$L^\infty(L^1)$有界性および非等方関数空間における滑らかさ性質に依存している。
• $\|a_2\|_{L^\infty_\sigma(L^1)}$の小さい条件は、不動点定理の収束を保証する上で不可欠である。