[論文レビュー] The primitivity index function for a free group, and untangling closed curves on hyperbolic surfaces

Neha Gupta, Ilya Kapovich|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、自由群のランク N ≥ 2 における原始的指標関数 f(n) および単純性指標関数 f₀(n) の下界を、非後退的無作為ウォークを用いた確率的手法により確立する。fρ(L) ≥ c log¹ᐟ³ L（双曲的曲面において）および f₀(n) ≥ c log¹ᐟ³ n（自由群において）を証明し、閉じた測地線や曲線を単純または原始的形に引き上げるには、長さまたは語長さに関して少なくとも対数的次数の被覆が必要であることを示す。

ABSTRACT

Abstract. Scott [39] proved that if Σ is a closed surface with a hyperbolic metric ρ, then for every closed geodesic γ on Σ there exists a finite cover of Σ where γ lifts to a simple closed geodesic. Define fρ(L) ≥ 0 to be the smallest monotone nondecreasing function such that every closed geodesic of length ≤ L on Σ lifts to a simple closed geodesic in a cover of Σ of degree ≤ fρ(L). A result of Patel [32] implies that for every hyperbolic structure ρ on Σ there exists K = K(ρ)> 0 such that fρ(L) ≤ KL for all L> 0. We prove that there exist c = c(ρ)> 0 such that fρ(L) ≥ c log1/3 L for all sufficiently large L. We obtain a similar lower bound for the function fΣ defined analogously to fρ but using the self-intersection number of closed curves on Σ instead of the hyperbolic length. These results are obtained as a consequence of several related results that we establish for free groups. Thus we define, study and obtain lower bounds for the primitivity index function f(n) and the simplicity index function f0(n) for the free group FN = F (a1,..., aN) of finite rank N ≥ 2. The primitivity index function f(n) is the smallest monotone non-decreasing function f(n) ≥ 0 such that for every nontrivial freely reduced word w ∈ FN of length ≤ n there is a subgroup H ≤ FN of index ≤ f(n) such that w ∈ H and that w is a primitive element (i.e. an element of a free basis) of H. The function f0(n) is defined similarly except that instead of w being primitive in H we require that w belongs to a proper free factor of H. The lower bounds for f(n) and f0(n) are obtained via probabilistic methods, by estimating from below the simplicity index for a “sufficiently random ” element wn ∈ FN produced by a simple non-backtracking random walk of length n on FN. 1.

研究の動機と目的

• 自由群 FN における原始的指標関数 f(n) を定義・分析し、語が部分群で原始的になるために必要な最小被覆次数を測定する。
• 語が有限指数部分群 H の適切な自由因子に属する必要があるという条件の下で、単純性指標関数 f₀(n) を定義・研究する。
• 語長 n の関数として f(n) および f₀(n) の定量的下界を確率的技法を用いて確立する。
• 自由群におけるこれらの結果を、語長と閉じた測地線の双曲的長さ L の関係を用いて、双曲的曲面へと拡張する。
• 閉じた測地線を単純な閉じた測地線に引き上げるために必要な最小被覆次数が、十分に大きな L に対して少なくとも log¹ᐟ³ L の速度で増加することを示す。

提案手法

• 自由群 FN における非自明な自由に還元された語で長さ ≤ n の語が、すべてある有限指数部分群 H において原始的になるような、最小の単調非減少関数 f(n) を原始的指標関数として定義する。
• f₀(n) を同様に定義し、語が H の適切な自由因子に属する必要があるという条件を課す（原始的である必要があるという条件とは異なる）。
• 自由群 FN における単純な非後退的無作為ウォークを用い、長さ n のランダムな元 wn を生成し、そのような元が原始的または単純性条件を満たす確率を推定する。
• f(n) および f₀(n) の下界を確立するため、長さ n のランダムな語のうち、ある低指数部分群の任意の適切な自由因子に属さないか、原始的でない確率が正であることを示す。
• 群論的境界を、語長と双曲的長さ L の関係を用いて、曲面の幾何構造と FN の語的双曲的構造を介して、双曲的曲面へ応用する。
• f₀(n) における群論的下界を用いて、双曲的曲面における被覆次数関数 fρ(L) に対して、下界 fρ(L) ≥ c log¹ᐟ³ L を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的曲面の閉じた測地線（長さ ≤ L）を単純な閉じた測地線に引き上げるために必要な有限被覆の最小次数は何か？
• RQ2 自由群 FN（ランク N ≥ 2）において、語長 n の関数として原始的指標関数 f(n) はどのように増加するか？
• RQ3 自由群 FN における非自明な語の単純性指標関数 f₀(n) の増加率は何か？
• RQ4 自由群における非後退的無作為ウォークを用いた確率的手法により、f(n) および f₀(n) の非自明な下界を確立できるか？
• RQ5 f(n) および f₀(n) における群論的境界は、双曲的曲面における被覆次数関数 fρ(L) に対してどのように幾何的下界に翻訳されるか？

主な発見

• 自由群 FN における原始的指標関数 f(n) は、ある c = c(N) > 0 および十分に大きな n に対して f(n) ≥ c log¹ᐟ³ n を満たす。
• 単純性指標関数 f₀(n) に対しても、ある c = c(N) > 0 および十分に大きな n に対して f₀(n) ≥ c log¹ᐟ³ n を満たす。
• 任意の双曲的曲面 Σ（計量 ρ を持つ）に対して、十分に大きな L に対して fρ(L) ≥ c log¹ᐟ³ L を満たし、c = c(ρ) > 0 である。
• これらの下界は、FN における非後退的無作為ウォークの確率的解析により確立され、長さ n のランダムな語のうち、ある低指数部分群の適切な自由因子に属さないか、原始的でない確率が正であることを示している。
• 結果として、閉じた測地線を単純な曲線に引き上げるために必要な最小被覆次数が、長さ L の三重対数関数の速度で増加することを示している。
• これらの境界は、パテルの結果における上界 fρ(L) ≤ KL と、対数的要因を除いて一致するため、タイトであるとされる。