[論文レビュー] The principal series of $p$-adic groups with disconnected centre

Anne‐Marie Aubert, Paul Baum+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、中心が非連結である分岐再帰的 $p$-進群の主系列に対して、拡張商と強化されたラングランズパラメータを用いて、局所ラングランズ対応を確立する。また、ベルンシュタイン成分の幾何的構造に関する ABPS 猜想が主系列全体で成り立つことを証明し、中心が連結である必要がなかった既存の結果を一般化する。

ABSTRACT

Let G be a split connected reductive group over a local non-archimedean field. We classify all irreducible complex G-representations in the principal series, irrespective of the (dis)connectedness of the centre of G. This leads to a local Langlands correspondence for principal series representations, which satisfies all expected properties. We also prove that the ABPS conjecture about the geometric structure of Bernstein components is valid throughout the principal series of G.

研究の動機と目的

• 中心が非連結である分岐再帰的 $p$-進群の主系列表現への局所ラングランズ対応を拡張し、これまでの中心が連結であることに限る制限を克服すること。
• 群の中心が非連結であっても、ベルンシュタイン成分の幾何的構造に関する ABPS 猜想が主系列で成り立つかを検証すること。
• 各ベルンシュタイン成分に対して、拡張商、既約表現、強化されたラングランズパラメータを結ぶ可換三角形の双対写像を構成すること。
• ラングランズ双対群において非連結な再帰的群に対して、アフィンヘッケ代数とクロス積の理論を一般化し、成分群を用いた半直積を用いること。
• ユニポテンツ類とコキャラクターによる一意的な表現のラベル付けを定義し、L-パケット構造と整合性を保つこと。

提案手法

• 拡張商 $(T^{\frak{s}}//W^{\frak{s}})_2$、ベルンシュタイン成分 ${\rm Irr}({\mathcal{G}})^{\frak{s}}$、強化されたラングランズパラメータ $\Psi(G)^{\frak{s}}_{\rm en}$ を含む可換三角形の双対写像を構成する。
• $T^\frak{s}$ をラングランズ双対群 $G$ の複素再帰的群 $H^\frak{s}$ の単位成分 $H_0^\frak{s}$ の最大トーラスとし、$W^\frak{s} = N_{H^\frak{s}}(T)/T$ とする。
• $W^\frak{s} = \mathcal{W}^{H_0^\frak{s}} \rtimes \pi_0(H^\frak{s})$ が $T^\frak{s}$ に作用することを用いて、第二種の拡張商を定義する。
• $[w,t] \mapsto W^\frak{s} \widetilde{\theta_z}(w,t) = W^\frak{s}(t \cdot h_\mathbf{c}(z))$ により、$\mathbf{c} \to T^\frak{s}/W^\frak{s}$ への準同型 $\theta_z$ を構成する。ここで $h_\mathbf{c}$ はユニポテンツ類に付随するコキャラクターである。
• 残渣コセットと成分群と整合するように、KLRパラメータ構成を用いて表現とラングランズパラメータを関連付ける。
• 2つの表現が同じ L-パケットに属するための必要十分条件として、すべての $z \in \mathbb{C}^\times$ に対して同じユニポテンツ類ラベルと $\theta_z$-値を持つことであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心が非連結である $p$-進群の主系列に対して、局所ラングランズ対応が存在するか？
• RQ2 群の中心が非連結である場合でも、ベルンシュタイン成分の幾何的構造に関する ABPS 猜想が主系列で成り立つか？
• RQ3 ラングランズ双対群の非連結な設定において、拡張商とクロス積代数はどのように一般化されるか？
• RQ4 中心が非連結である場合に、ユニポテンツ類とコキャラクター作用を用いて L-パケット構造を特徴付けられるか？
• RQ5 成分群 $\pi_0(H^\frak{s})$ は、$H^\frak{s}$ のワイル群およびヘッケ代数構造を定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、中心が非連結であっても、任意の分岐再帰的 $p$-進群の主系列に対して、期待されるすべての性質を満たす局所ラングランズ対応を構成する。
• ベルンシュタイン成分の幾何的構造に関する ABPS 猜想が、中心の連結性にかかわらず主系列全体で成り立つことが証明された。
• 拡張商 $(T^\frak{s}//W^\frak{s})_2$ は、主系列における既約表現の明示的かつ計算可能なパラメータ化を提供する。
• 主系列の2つの表現が同じ L-パケットに属するための必要十分条件は、同じユニポテンツ類ラベルを持ち、すべての $z \in \mathbb{C}^\times$ に対して $\theta_z$-値が同一であることである。
• ワイル群 $W^\frak{s}$ は、半直積 $\mathcal{W}^{H_0^\frak{s}} \rtimes \pi_0(H^\frak{s})$ として実現され、非連結群への標準的なワイル群作用の一般化がなされた。
• アフィンヘッケ代数 $\mathcal{H}^\frak{s}$ は、拡張アフィンヘッケ代数 $\mathcal{H}(H_0^\frak{s}) \rtimes \pi_0(H^\frak{s})$ として実現され、成分群が共役作用により作用する。