[論文レビュー] The principle of a single big jump: discrete and continuous time modulated random walks with heavy-tailed increments

Sergey Foss, Takis Konstantopoulos+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2005

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 28被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、重尾を持つ増分を伴う変調付きランダムウォークおよびリーヴィ過程における最大値の漸近的尾部挙動を、単一の大ジャンプの確率的原理を用いて確立する。部分的指数的および長尾的条件の下で、全体の最大値の右尾部分布の正確な漸近的挙動を導出しており、離散時間および連続時間設定を統一的に扱い、解析的または変換に基づく手法を避ける完全な確率的証明を提供する。

ABSTRACT

We consider a modulated process S which, conditional on a background process X, has independent increments. Assuming that S drifts to -infinity and that its increments (jumps) are heavy-tailed (in a sense made precise in the paper), we exhibit natural conditions under which the asymptotics of the tail distribution of the overall maximum of S can be computed. We present results in discrete and in continuous time. In particular, in the absence of modulation, the process S in continuous time reduces to a Levy process with heavy-tailed Levy measure. A central point of the paper is that we make full use of the so-called ``principle of a single big jump'' in order to obtain both upper and lower bounds. Thus, the proofs are entirely probabilistic. The paper is motivated by queueing and Levy stochastic networks.

研究の動機と目的

• 重尾を持つ増分を伴う変調付きランダムウォークの最大値に関する既存の尾部漸近的挙動の結果を一般化・統一すること。
• パーケス＝ヴェラーベーケの定理を、重い尾を持つリーヴィ測度を有する独立増分を持つ連続時間過程へと拡張すること。
• ラプラス変換や特性関数に依存しない、完全な確率的証明を提供すること。
• 時間に依存するダイナミクスが存在する中でも、全体の最大値が単一の大ジャンプによって支配される条件を確立すること。
• 部分的指数的および長尾的分布の枠組みにおいて、離散時間および連続時間設定を統一する。

提案手法

• 単一の大ジャンプの原理を用いる：大きな閾値を超える最大値は、漸近的に一つの非常に大きな増分によって支配される。
• 部分的指数的および長尾的分布理論を用いて、和および最大値の尾部挙動を特徴付ける。
• 条件付き独立性および再生過程を用いて、状態依存のジャンプ分布を有する時間変調付きランダムウォークをモデル化する。
• 関数 $ h_y $ を用いて $ \overline{F}(y - h_y) \sim \overline{F}(y) $ を満たすように、カップリングによる上界および下界を導出する。
• 非変調状態におけるパーケス＝ヴェラーベーケの定理を適用し、経路ごとのカップリングおよびエルゴード的議論を用いて、変調付き過程へと拡張する。
• 統合尾分布 $ F^{\text{\tiny\rm I}} $ を用いて、最大値の漸近的尾部を $ \frac{1}{a} F^{\text{\tiny\rm I}}(y) $ と表現する。ここで $ a = -\mathbb{E}[\xi_1] > 0 $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重尾を持つ増分を伴う変調付きランダムウォークの最大値が、漸近的に単一の大ジャンプの最大値に類似する条件は何か？
• RQ2 パーケス＝ヴェラーベーケの定理は、独立増分および重い尾を持つリーヴィ測度を有する連続時間過程へどのように拡張可能か？
• RQ3 単一の大ジャンプの原理が成立するための、変調過程およびジャンプ分布に関する必要十分条件は何か？
• RQ4 バックグラウンドの再生過程が、全体の最大値の尾部漸近的挙動に与える影響は何か？
• RQ5 ラプラス変換や特性関数に依存しない、完全な確率的証明を、漸近的尾部挙動のためのものとして構築可能か？

主な発見

• i.i.d. な重尾を持つ増分および負のドリフトを有する変調付きランダムウォーク $ S_n $ に対して、$ y \to \infty $ のとき $ \mathbb{P}(\sup_n S_n > y) \sim \frac{1}{a} F^{\text{\tiny\rm I}}(y) $ が成り立つ。ここで $ a = -\mathbb{E}[\xi_1] > 0 $ であり、$ F^{\text{\tiny\rm I}} $ は統合尾分布である。
• この結果は離散時間および連続時間の両方で成立し、連続時間の場合は部分的指数的リーヴィ測度を有するリーヴィ過程に帰着する。
• 単一の大ジャンプの原理が厳密に裏付けられる：事象 $ \{\sup_n S_n > y\} $ は漸近的に、事象 $ \{\xi_n > y + na\} $ の和集合と同等であり、それらの確率の和が漸近的表現を与える。
• バックグラウンド過程 $ X $ によって条件付き独立な増分に対しては、尾部漸近的挙動は増分の周辺尾部挙動およびドリフトに支配され、部分的指数的および長尾的条件下で成立する。
• 本稿では $ F \in \mathcal{L} $ ならば $ F^{\text{\tiny\rm I}} \in \mathcal{L} $ であり、$ F^{\text{\tiny\rm I}} \in \SS $ がパーケス＝ヴェラーベーケ型の漸近的挙動に十分であることを確立する。
• 変調付き過程における強大数法則は、定常再生列へのカップリングを用いて非定常状態へと拡張され、経験平均が負のドリフトにほとんど確実に収束することを保証する。