[論文レビュー] The principle of stationary nonconservative action for classical mechanics and field theories

Chad R. Galley, David Tsang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 10被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、古典的力学および場の理論における非保存的作用の変分原理を導入し、散逸や放射反動などの時間反転非可逆的過程を含むハミルトンの最小作用の原理を拡張する。自由度を二重化し、非保存的ポテンシャル $K$ を導入することで、非保存的力が考慮された運動方程式が得られるとともに、ネネールの定理が一般化され、対称性が修正された保存されないカレントを生じることを示す。

ABSTRACT

We further develop a recently introduced variational principle of stationary action for problems in nonconservative classical mechanics and extend it to classical field theories. The variational calculus used is consistent with an initial value formulation of physical problems and allows for time-irreversible processes, such as dissipation, to be included at the level of the action. In this formalism, the equations of motion are generated by extremizing a nonconservative action $\mathcal{S}$, which is a functional of a doubled set of degrees of freedom. The corresponding nonconservative Lagrangian contains a potential $K$ which generates nonconservative forces and interactions. Such a nonconservative potential can arise in several ways, including from an open system interacting with inaccessible degrees of freedom or from integrating out or coarse-graining a subset of variables in closed systems. We generalize Noether's theorem to show how Noether currents are modified and no longer conserved when $K$ is non-vanishing. Consequently, the nonconservative aspects of a physical system are derived solely from $K$. We show how to use the formalism with examples of nonconservative actions for discrete systems including forced damped harmonic oscillators, radiation reaction on an accelerated charge, and RLC circuits. We present examples for nonconservative classical field theories. Our approach naturally allows for irreversible thermodynamic processes to be included in an unconstrained variational principle. We present the nonconservative action for a Navier-Stokes fluid including the effects of viscous dissipation and heat diffusion, as well as an action that generates the Maxwell model for viscoelastic materials, which can be easily generalized to more realistic rheological models. We show that the nonconservative action can be derived as the classical limit of a more complete quantum theory.

研究の動機と目的

• ハミルトンの最小作用の原理を、減衰や粘性散逸などの非可逆的過程を含む非保存的系へ拡張すること。
• 初期値問題と時間反転非可逆的ダイナミクスと整合する一貫性のある変分フレームワークを開発すること。
• 非保存的系におけるネネールの定理を一般化し、$K \neq 0$ のとき、対称性が修正された保存されないカレントを生じることを示すこと。
• 離散系（例：減衰振動子、RLC回路）および古典的場の理論（例：ナビエ＝ストークス流体、粘弾性材料）への形式の適用を示すこと。
• 非保存的作用と量子場理論の古典的極限との根本的関係を確立すること、特に in-in 形式と影響作用を通じて。

提案手法

• 時間反転非可逆的過程を変分フレームワークで記述するため、自由度の二重セット $(q, q')$ を導入する。
• 非保存的作用 $\mathcal{S}[q, q'] = S[q] - S[q'] + \text{Re}[S_{\text{infl}}[q, q']]$ を定義し、影響作用の実部が非保存的ポテンシャル $K$ を符号化する。
• 非平衡量子場理論の影響作用を用いて $K$ を導出し、$K$ が粗視化またはアクセス不可能な自由度への結合によって生じることを示す。
• $\mathcal{S}$ の $q$ および $q'$ に関する変分をとることで、非保存的オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 保存カレントが $K$ によって修正され、$K \neq 0$ のときにはもはや保存されないことを示すことにより、ネネールの定理を一般化する。
• 形式を物理系に適用する：減衰振動子、放射反動、RLC回路、ナビエ＝ストークス流体、およびマックスウェルモデルによる粘弾性材料。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 散逸や減衰などの非可逆的過程を含む非保存的古典的系に対して、変分原理を定式化できるか？
• RQ2 特に in-in 形式における影響作用を通じて、非保存的ポテンシャル $K$ を基本的な量子理論から導出できるか？
• RQ3 非保存的力が存在する場合、ネネールの定理はどのように一般化されるのか？保存量はどのように変化するのか？
• RQ4 この形式は、粘性流体や粘弾性材料のような非保存的挙動を示す古典的場の理論を記述できるか？
• RQ5 非平衡量子理論の古典的極限は、well-defined な $K$ を持つ非保存的作用をどのように導くのか？

主な発見

• 非保存的作用 $\mathcal{S}[q, q']$ は、非平衡量子場理論における影響作用の古典的極限として得られ、$K = \text{Re}[S_{\text{infl}}[q, q']]$ である。
• 形式は、非保存的ポテンシャル $K$ を含めることで、ナビエ＝ストークス流体における粘性散逸を自然に組み込むことができ、応力テンソルと熱拡散を生成する。
• 粘弾性材料に対しては、非保存的作用を通じてマックスウェルモデルが得られ、より複雑な流れ体力学的モデルへ一般化可能である。
• 非保存的ポテンシャル $K$ は、粗視化またはアクセス不可能な自由度への結合によって生じ、非保存的力の物理的起源を提供する。
• 保存カレントは $K$ によって修正され、$K \neq 0$ のときにはもはや保存されない。これにより、非保存的効果が $K$ に完全に符号化されていることが示された。
• 量子理論の古典的極限における密度行列の短縮版の位相定常近似（$\hbar \to 0$）から、古典的非保存的作用 $\mathcal{S}$ が得られ、量子理論の古典的極限と整合していることが確認された。