[論文レビュー] The probability densities of the first hitting times of Bessel processes

Yuji Hamana, Hiroyuki Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$\nu$ をインデックスとするBessel過程の最初の到達時刻の確率密度関数を、修正ベッセル関数 $K_\nu$ の比の逆ラプラス変換を用いて明示的に導出する。主な貢献は、密度関数の無限大における漸近的挙動の特定であり、$\nu = 0$ の場合、$t^{-1} (\log t)^{-2}$ のオーダーで減衰することを示し、$\nu \neq 0$ の場合、$t^{-1-|\nu|}$ のオーダーで減衰する。正確な定数は、漸近展開とドミネート収束定理を用いて導出される。

ABSTRACT

We are concerned with the first hitting times of the Bessel processes. We give explicit expressions for the densities by means of the zeros of the Bessel functions and show their asymptotic behavior.

研究の動機と目的

• 標準的な固有値展開法が、無限大における自然境界のため機能しない状況下で、$a > b$ から出発するインデックス $\nu$ のBessel過程の最初の到達時刻 $\tau_{a,b}^{(\nu)}$ の確率密度関数の明示的表現を導出すること。
• 到達時刻密度関数の $t \to \infty$ における漸近的挙動、特に減衰率と定数の分析。
• 到達時刻のラプラス変換に関する先行研究を拡張し、修正ベッセル関数の性質とその零点を用いて、逆変換を明示的に実行すること。
• 積分表現とドミネート収束定理を用いて、密度関数の正確な漸近展開を提供すること、特に $\nu = 0$ の場合の対数補正項を含む。

提案手法

• 特殊関数論に基づくコーシー積分路に基づく方法を用いて、$\tau_{a,b}^{(\nu)}$ のラプラス変換を逆変換する。この変換は、$K_\nu(a\sqrt{2\lambda})/K_\nu(b\sqrt{2\lambda})$ の比として表される。
• 修正ベッセル関数 $I_\mu$ と $K_\mu$ の比として定義される関数 $L_{\mu,c}(x)$ を用い、逆ラプラス変換を積分形式で表現する。
• 勾配降下法を用い、$L_{\mu,c}(x)$ の $x \to 0$ および $x \to \infty$ における挙動に基づいて積分を領域に分割し、密度関数の推定を行う。
• $K_0(x)$ の $x \to 0$ における漸近展開を用い、$\nu = 0$ の場合の密度関数における対数補正項 $1/(\log t)^2$ を、ディガンマ関数 $\psi(m+1)$ を含む級数展開に基づいて導出する。
• 特に $x$-領域が小さい場合の積分における誤差項を制御するため、ドミネート収束定理を適用する。
• ガンマ関数の関数等式と二重公式を用いて、結果の式を簡略化し、漸近展開における閉形式の定数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インデックス $\nu$ のBessel過程が $a > b$ から出発する場合、最初の到達時刻の確率密度関数の明示的形は何か？
• RQ2 異なる $\nu$ 値に対して、$t \to \infty$ 時の到達時刻密度関数の減衰率はどのように変化するか。特に $\nu = 0$ と $\nu \neq 0$ の場合に注目する。
• RQ3 漸近展開における正確な定数は何か？ また、それらは修正ベッセル関数の $x \to 0$ および $x \to \infty$ における挙動からどのように導出されるか？
• RQ4 比 $K_\nu(a\sqrt{2\lambda})/K_\nu(b\sqrt{2\lambda})$ の逆ラプラス変換は、漸近的解析が可能な扱いやすい積分形式で表現可能か？
• RQ5 修正ベッセル関数 $K_\nu$ の零点は、$a > b$ の場合の到達時刻密度関数の構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $\nu = 0$ の場合、$t \to \infty$ において、最初の到達時刻密度関数は $f_{a,b}^{(0)}(t) \sim \frac{2\log c}{t(\log t)^2}$ と漸近的に振る舞い、$c = a/b > 1$ である。次の項補正は $\frac{\alpha_1}{\log t}$ であり、$\alpha_1 = 2(\gamma - \log 2 + 2\log b)$ である。
• $\nu \neq 0$ の場合、密度関数は $f_{a,b}^{(\nu)}(t) \sim C_\nu t^{-1-|\nu|}$ と漸近的に減衰する。ここで定数 $C_\nu$ はガンマ関数と比 $c = a/b$ を用いて明示的に与えられる。
• $\nu = 0$ の漸近展開は、$K_0(x)$ の級数展開（ディガンマ関数 $\psi(m+1)$ を含む）を用いて導出され、結果として減衰率に対数補正項が現れる。
• 逆ラプラス変換は、$L_{|\nu|,c}(x)$ を含む積分として表現可能であり、$x \to \infty$ で指数的に減衰し、$x \to 0$ では $x^{2|\nu|}$ と同様の挙動を示す。これにより、精密な漸近的制御が可能となる。
• 漸近密度における定数 $C\_\nu$ は、$C_\nu = \cos(\nu\pi) \frac{c^{|\nu|} - c^{-|\nu|}}{2^{2|\nu|-1} \Gamma(|\nu|) \Gamma(|\nu|+1)}$ として与えられ、$x \to 0^+$ における $L_{|\nu|,c}(x)/x^{2|\nu|}$ の極限から導出される。
• 漸近的解析では、積分を領域に分割し、ドミネート収束定理を適用して、$L_{|\nu|,c}(x)$ が良好に振る舞う $x \sim 0$ の領域からの寄与が主であることを示している。