[論文レビュー] The probability of drawing intersections: extending the hypergeometric distribution

Alex T. Kalinka|arXiv (Cornell University)|May 3, 2013

Genetic Mapping and Diversity in Plants and Animals参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、複数のウルンから非復元抽出を行う際の重複領域のサイズをモデル化するため、超幾何分布を拡張する。対称的および非対称的な場合の正確な確率質量関数を導出しており、2ウルンの場合が古典的な超幾何分布に還元されることを示している。重複を含む特別なケースについても閉形式の解が得られている。主な貢献は、多変量生物学的データにおけるエンリッチメントのテストのための一般化されたフレームワークであり、Rパッケージ 'hint' に実装されている。

ABSTRACT

The wide availability of biological data at the genome-scale and across multiple variables has resulted in statistical questions regarding the enrichment or depletion of the number of discrete objects (e.g. genes) identified in individual experiments. Here, I consider the problem of inferring enrichment or depletion when drawing independently, and without replacement, from two or more separate urns in which the same $n$ distinct categories of objects exist. The statistic of interest is the size of the intersection of object categories. I derive a probability mass function describing the distribution of intersection sizes when sampling from N urns and show that this distribution follows the classic hypergeometric distribution when N = 2. I apply the theory to the intersection of genes belonging to a set of traits in three different vertebrate species illustrating that the use of P-values from one-tailed enrichment tests enables accurate clustering of related traits, yet this is not possible when relying on intersection sizes alone. In addition, intersection distributions provide a means to test for co-localization of objects in images when using discretized data, allowing co-localization tests in more than two channels. Finally, I show how to extend the problem to variable numbers of objects belonging to each category, and discuss how to make further progress in this direction. The distribution functions are implemented and freely available in the R package 'hint'.

研究の動機と目的

• 複数のウルンから非復元抽出を行う際の交差領域サイズの確率モデルを開発すること。
• 2つ以上のカテゴリーを扱い、別々のウルンから独立して抽出する場合に一般化された超幾何分布を導出すること。
• 多変量生物学的データセット（例：異なる種間の重複する遺伝子セット）における共有カテゴリーのエンリッチメントまたは枯渇の統計的推論を可能にすること。
• 各カテゴリーに変動するオブジェクト数、およびウルン内に重複エントリが存在する場合のフレームワークへの拡張。
• 離散化されたオブジェクト位置を用いたマルチチャネル画像データにおける共局在のテストのための計算ツールの提供。

提案手法

• N個のウルンから抽出する際の交差領域サイズの確率質量関数を、各ウルンにn個の異なるカテゴリーが含まれる場合に、有効なカテゴリー組み合わせの組み合わせ的数え上げによって導出する。
• 3項係数と組み合わせ的恒等式を用いて式を簡略化し、2ウルン・シングルトンケースが標準的な超幾何分布に還元されることを示す。
• 1つのウルンにq個の重複カテゴリーを追加することで非対称拡張を導入し、閉形式解が得られないが有限和（二項係数を含む）として計算可能であることを示す。
• 母関数と組み合わせ的恒等式を用いて、すべてのnカテゴリーに重複が存在する1つのウルンから抽出される異なるカテゴリー数の分布に対して閉形式の式を導出する。
• 片側P値を用いた交差領域サイズの統計的有意性のテストに導出した分布を適用し、生物学的に関連する特徴のクラスタリングを可能にする。
• 実用的なゲノムおよび画像解析用途のため、オープンソースのRパッケージ 'hint' にフルフレームワークを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つ以上のウルンから非復元抽出を行う際、各ウルンにn個の異なるカテゴリーが含まれる場合の交差領域サイズの正確な確率分布は何か？
• RQ2 1つのウルンに一部のカテゴリーで重複メンバーが存在する場合、交差分布はどのように変化するか？また、これは閉形式で表現可能か？
• RQ3 導出された分布を用いて、異なる種間の重複遺伝子セットなどの生物学的データセットにおける共有カテゴリーの有意なエンリッチメントを検出可能か？
• RQ4 すべてのカテゴリーに重複が存在するウルンから抽出される異なるカテゴリー数の期待値は、サンプルサイズと総カテゴリー数にどのように依存するか？
• RQ5 マルチチャネル画像における共局在のテストに拡張可能か？特に2つの交差分布の有意差を検出するフレームワークは可能か？

主な発見

• 1つのオブジェクトが各カテゴリーに1つずつ存在する2ウルンの場合、交差分布は正確に超幾何分布に一致し、これは古典的な1ウルン設定を超えた適用可能性を確認する。
• 1つのウルンにq個の重複カテゴリーが存在する場合、分布は閉形式で表現できないが、二項係数を含む有限和として計算可能である。
• すべてのnカテゴリーに重複が存在する1つのウルンから抽出される異なるカテゴリー数の分布に対して、閉形式の式が導出された：$ b{P}(X=c) = rac{inom{n}{c}inom{c}{a-c}2^{2c-a}}{inom{2n}{a}} $。
• すべてのカテゴリーに重複が存在するウルンから抽出される異なるカテゴリー数の期待値は $ b{E}(X) = aig(1 - rac{a-1}{4n-2}ig) $ であり、これはaおよびnの両方より小さい。
• エンリッチメント検定からの片側P値を用いることで、3種のVertebrate種における生物学的に関連する特徴のクラスタリングに成功した。一方、交差領域サイズのみでは真の関係は明らかにならなかった。
• このフレームワークにより、空間チャネルに離散化されたオブジェクトの交差をモデル化することで、マルチチャネル画像における共局在の統計的検定が可能になった。