[論文レビュー] The probability of unusually large components in the near-critical Erd\H{o}s-R\'enyi graph

Matthew I. Roberts|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ p = n^{-1} + \lambda n^{-4/3} $ における近臨界 Erdős-Rényi ランダムグラフ $ G(n, p) $ における、通常とは著しく大きな成分の確率について、精密な漸近的表現を提供する。微修正されたモーメント推定と成分数の組合せ的近似を用い、最大成分のサイズおよび固定頂点を含む成分のサイズについて、鋭い尾部漸近的性質を導出する。Pittel の以前の結果を、明示的な誤差項を伴うより広いパrameter範囲へと拡張する。

ABSTRACT

The largest components of the critical Erd\H{o}s-R\'enyi graph, $G(n,p)$ with $p=1/n$, have size of order $n^{2/3}$ with high probability. We give detailed asymptotics for the probability that there is an unusually large component, i.e. of size $an^{2/3}$ for large $a$. Our results, which extend work of Pittel, allow $a$ to depend upon $n$ and also hold for a range of values of $p$ around $1/n$. We also provide asymptotics for the distribution of the size of the component containing a particular vertex.

研究の動機と目的

• 臨界 Erdős-Rényi ランダムグラフにおける、通常とは著しく大きな成分の確率に関する Pittel の漸近的結果を、より広いパrameter範囲へと拡張すること。
• 最大成分 $ L_1 $ および固定頂点 $ v $ を含む成分 $ C(v) $ のサイズに関する $ \mathbb{P}_n,\lambda(L_1 \geq k) $ および $ \mathbb{P}_n,\lambda(|C(v)| \geq k) $ の鋭い漸近的表現を提供すること。
• これらの漸近的性質に正確な誤差項を導出し、$ a = k/n^{2/3} \to \infty $ かつ $ \lambda $ が $ n $ と共に増加する場合、以前の研究で扱われた固定 $ \lambda $ の範囲を超えて、より広いパラメータ領域へと拡張すること。
• 第一および第二モーメント法を成分数に適用する一般的な枠組みを確立し、臨界窓内での誤差項を明示的に制御すること。

提案手法

• 成分サイズ確率の指数的減衰率を支配する $ G_\lambda(a) = \frac{a^3}{8} - \frac{\lambda a^2}{2} + \frac{\lambda^2 a}{2} $ を定義する。
• 第一モーメント法を用いて、サイズ $ k $ の成分の期待数 $ \mathbb{E}_{n,\lambda}[Y(k)] $ を推定する。これは、$ k $ 頂点と $ k+l $ 辺を持つ連結グラフの組合せ的数え上げに基づく。
• Janson らの結果を活用し、連結グラフの数 $ C(k, k+l) $ に対する精密な漸近的評価を用いて、$ k $ 頂点と $ k+l $ 辺を持つ成分の期待数 $ \mathbb{E}_{n,\lambda}[X(k,k+l)] $ を近似する。
• 重複確率の指数的バウンドとカップリング論法を用いて、第二モーメント $ \mathbb{E}_{n,\lambda}[Y(k)^2] \approx \mathbb{E}_{n,\lambda}[Y(k)] $ を制御する。
• 第二モーメント補正を施した第一モーメント法を用いて、$ \mathbb{P}(L_1 = k) $ および $ \mathbb{P}(L_1 \geq k) $ の鋭い境界を導出し、典型的な $ n^{2/3} $ スケール付近への集中を示す。
• 頂点成分サイズに関しては、恒等式 $ \mathbb{P}(|C(v)| = k) = \frac{k}{n} \mathbb{E}_{n,\lambda}[X(k,k+l)] $ を用い、$ l $ について和をとることで、全分布を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ p = n^{-1} + \lambda n^{-4/3} $ のもとで、近臨界 Erdős-Rényi グラフにおける最大成分がサイズ $ an^{2/3} $ を超える確率の正確な漸近的確率は何か、特に $ a $ が大きく $ n \to \infty $ のとき。
• RQ2 $ \lambda $ と $ a $ が $ n $ と共に増加する場合、成分サイズの尾部確率は固定 $ \lambda $ の場合とどのように異なるか。
• RQ3 固定頂点 $ v $ を含む成分のサイズの分布は何か、そして臨界窓内での $ n $ とのスケーリング関係は。
• RQ4 Pittel の元々の漸近的結果における誤差項を鋭くし、より広いパrameter範囲へと拡張可能か。
• RQ5 成分サイズ分布と、$ k $ 頂点と $ k+l $ 辺を持つ連結グラフの数との間にはどのような関係があるか。

主な発見

• $ k \in [(3\lambda \land 1)n^{2/3}, n^{3/4}] $ の範囲で、最大成分が正確にサイズ $ k $ をとる確率は、$ a = k/n^{2/3} $ とおくと、漸近的に $ \frac{k^{1/2}}{(8\pi)^{1/2} n} e^{-G_\lambda(a)} (1 + O(E_1)) + O(E_2) $ に比例する。
• 尾部確率 $ \mathbb{P}_n,\lambda(L_1 \geq k) $ は漸近的に $ \frac{a^{1/2}}{(8\pi)^{1/2} G'_\lambda(a)} e^{-G_\lambda(a)} (1 + O(E_1)) + O(E_2) $ に比例し、ここで $ G'_\lambda(a) = \frac{3a^2}{8} - \lambda a + \frac{\lambda^2}{2} $ である。
• 固定頂点 $ v $ を含む成分について、$ \mathbb{P}_n,\lambda(|C(v)| = k) \sim \frac{k^{3/2}}{(8\pi)^{1/2} n^2} e^{-G_\lambda(a)} (1 + O(E_1)) $ であり、確率質量に $ k^{3/2} $ スケーリングが現れることを示す。
• 誤差項 $ E_1 $ および $ E_2 $ は明示的に制御されている：$ E_1 = \frac{k^4}{n^3} + \frac{|\lambda|}{n^{1/12}} + \frac{|\lambda|^3 k}{n} + \frac{n^{2/3}}{k} + \frac{1}{n^{1/10}} $、$ E_2 = n^{1/4} e^{-n^{1/4}/80} $。
• 結果は、Pittel の元々の結果における正規化定数が $ (2\pi)^{1/2} $ ではなく、$ (9\pi/8)^{1/2} $ でなければならないことを確認しており、元の導出におけるわずかな見落としによるものである。
• この枠組みは頑健であり、固定 $ \lambda $ を超えて、$ \lambda \to \infty $ が $ n $ と共にゆっくり増加する場合にも適用可能で、成分サイズが $ n^{3/4} $ まで拡張可能である。