[論文レビュー] The probability that random positive integers are k-wise relatively prime

Jerry Hu|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2012

Analytic Number Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、s個のランダムに選ばれた正の整数がk-重に互いに素である確率の正確な漸近的公式を導出している。これは、2つのランダム整数が互いに素である確率が $6/\pi^2$ であるという古典的結果を一般化したものである。再帰的構造と乗法的数論的関数を用いて、この確率は $A_{s,k} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{s-k+1} \sum_{m=0}^{k-1} \binom{s}{m} \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{k-1-m} \frac{1}{p^m}$ であることが示され、ペアワイズの場合には $1/\zeta(s)$ に簡略化される。

ABSTRACT

An s-tuple of positive integers are k-wise relatively prime if any k of them are relatively prime. Exact formula is obtained for the probability that s positive integers are k-wise relatively prime.

研究の動機と目的

• 2つのランダム整数が互いに素である確率が $6/\pi^2$ であるという古典的結果を、s個の整数におけるk-重の相対的素性に一般化すること。
• s-組がk-重に互いに素である自然密度の正確な漸近的公式を導出すること。
• Tóth (2002) が行ったペアワイズの相対的素性に関する先行研究を、再帰的および乗法的数論的技法を用いてより広範なk-重の設定に拡張すること。
• s-組が与えられた補助的整数 $u_1, \dots, u_{k-1}$ に対しても相対的素性を満たす場合の密度を特定すること。

提案手法

• 論文は、$[1,n]^s$ 内のs-組でk-重に互いに素であり、かつ$(k-1)$-組 $u = (u_1, \dots, u_{k-1})$ に対して相対的素性を満たすものの個数を表す $Q_{s,k}^{(u)}(n)$ を定義する。
• 再帰的関係式 $Q_{s+1,k}^{(u)}(n) = \sum_{\substack{j=1 \\ (j,u_1)=1}}^n Q_{s,k}^{(j*u)}(n)$ を確立する。ここで $j*u$ はk-重条件を保つように変換された$(k-1)$-組である。
• 相対的素性制約を符号化する乗法的算術関数 $f_{s,k,i}(u_i)$ を導入する。これはMöbius逆転と素数ごとの積分解法により導出される。
• 漸近的公式 $Q_{s,k}^{(u)}(n) = A_{s,k} \prod_{i=1}^{k-1} f_{s,k,i}(u_i) n^s + O(\theta(u_1) n^{s-1} \log^{\delta(s,k)} n)$ を証明する。ここで $\delta(s,k) = \max \left\{ \binom{s-1}{i} \mid i=1,\dots,k-1 \right\}$ である。
• 鍵となる恒等式は、素数ごとのEuler積として密度を表現することである： $A_{s,k} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{s-k+1} \sum_{m=0}^{k-1} \binom{s}{m} \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{k-1-m} \frac{1}{p^m}$。
• 証明には帰納法、Möbius逆転、および $\tau_k(n)$ を含む除数和の推定を用い、乗法的関数の和の漸近的挙動に関する既知の結果に依拠している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $s \geq 1$ および $k \geq 2$ に対して、s個のランダムに選ばれた正の整数がk-重に互いに素である正確な漸近的確率は何か？
• RQ2 s-組が与えられた $k-1$ 個の補助的整数 $u_1, \dots, u_{k-1}$ に対しても相対的素性を満たす必要がある場合、この確率はどのように変化するか？
• RQ3 k-重の相対的素性の再帰的構造を、正確な密度計算を可能にする乗法的関数フレームワークで捉えることは可能か？
• RQ4 漸近的密度推定における誤差項は何か？また、補助的整数 $u_i$ の大きさと構造は、この誤差項にどのように依存するか？
• RQ5 k-重の相対的素性確率はリーマンゼータ関数やEuler積とどのように関係するか？また、ペアワイズの相対的素性における $1/\zeta(s)$ の結果をどのように一般化するか？

主な発見

• k-重に互いに素である正の整数のs-組の正確な自然密度は、$A_{s,k} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{s-k+1} \sum_{m=0}^{k-1} \binom{s}{m} \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{k-1-m} \frac{1}{p^m}$ で与えられる。
• s-組が $i=1,\dots,k-1$ に対して与えられた $u_i$ に対してもi-重に相対的素性を満たす必要がある場合、密度は $A_{s,k} \prod_{i=1}^{k-1} f_{s,k,i}(u_i)$ に変化する。ここで $f_{s,k,i}(u_i)$ は $u_i$ の素因数に基づいて定義される乗法的算術関数である。
• 漸近的個数 $Q_{s,k}^{(u)}(n)$ の誤差項は $O(\theta(u_1) n^{s-1} \log^{\delta(s,k)} n)$ で有界であり、ここで $\theta(u_1)$ は $u_1$ の平方自由な約数の個数であり、$\delta(s,k) = \max_{1 \leq i \leq k-1} \binom{s-1}{i}$ である。
• 再帰的構造 $Q_{s+1,k}^{(u)}(n) = \sum_{\substack{j=1 \\ (j,u_1)=1}}^n Q_{s,k}^{(j*u)}(n)$ が成り立つ。ここで $j*u$ はGCDとLCMを用いた変換により定義され、k-重条件を保持する。
• $f_{s,k,i}(u_i)$ は恒等式 $\frac{f_{s,k,i}(u_i)}{f_{s,k,i+1}(u_i)} = \sum_{d|u_i} \frac{\mu(d) \binom{s}{i}^{\omega(d)}}{\alpha_{s,k,i}(d)}$ を満たし、Möbius逆転および素数冪分解と関連している。
• $k=2$ の場合、この公式は既知の結果 $1/\zeta(s)$ に簡略化され、s個の整数がペアワイズに相対的素性を満たす古典的確率が回復される。