[論文レビュー] The Problem of Dynamic Programming on a Quantum Computer

Pooya Ronagh|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有限ホライズン動的計画法（DP）問題の量子クエリ複雑性を調査し、量子および古典的アルゴリズムを分析するためのクエリモデルを導入する。DPに対しては、二次以上の高速化が可能でないことを証明し、量子下界をΩ(√|S||A|)、古典的ランダム化下界をΩ(|S||A|)として確立することで、これらの問題に対して指数的量子高速化が不可能であることを示している。

ABSTRACT

We discuss the problem of finite-horizon dynamic programming (DP) on a quantum computer. We introduce a query model for studying quantum and classical algorithms for solving DP problems, and provide example oracle constructions for the travelling salesperson problem, the minimum set-cover problem, and the edit distance problem. We formulate open questions regarding quadratic quantum speedups for DP and discuss their implications. We then prove lower bounds for the query complexity of quantum algorithms and classical randomized algorithms for DP, and show that no greater-than-quadratic speedup can be achieved for solving DP problems.

研究の動機と目的

• 有限ホライズン動的計画法のクエリ複雑性を、量子コンピュータ上で形式化すること。
• 統一されたクエリモデルを用いて、量子および古典的ランダム化アルゴリズムを比較すること。
• TSP やセットカバーといったNP困難なDP問題に対して、二次量子高速化が達成可能かどうかを調査すること。
• 量子および古典的アルゴリズムのクエリ複雑性に対して、タイトな下界を確立すること。
• 二次高速化の最適性を証明することで、DP問題に対して指数的量子高速化が不可能であることを排除すること。

提案手法

• アルゴリズムが状態-行動-時刻の三つ組に対して遷移と報酬を返すオラクルにアクセスするクエリモデルを導入する。
• 一般化された関係的反証法を用いて、量子クエリ複雑性の下界を導出する。
• 意思決定木の解析を用いて、古典的ランダム化クエリ複雑性の下界を証明する。
• TSP、最小セットカバー、編集距離のためのオラクルを構築し、一般モデルの具体化を行う。
• DPインスタンスの区別を関数の双子の区別へ還元することで、反証法の技術の適用を可能にする。
• DPインスタンスの区別が、一つの値を除いて同一の関数の双子を区別することに還元されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、有限ホライズン動的計画法問題を解く際に、二次を超える高速化を達成できるか？
• RQ2 TSP やセットカバーといったNP困難なDP問題に対して、量子高速化に根本的な限界があるか？
• RQ3 一般化された関係的反証法を用いて、DP問題のタイトな量子クエリ下界を導出できるか？
• RQ4 DP問題に対する有界誤差ランダム化アルゴリズムの古典的クエリ複雑性は何か？
• RQ5 動的計画法に対して指数的量子高速化は可能か、それとも二次高速化が最適か？

主な発見

• 有限ホライズンDP問題の量子クエリ複雑性は、Ω(√|S||A|)で下界が与えられ、二次以上の高速化が不可能であることを証明している。
• 古典的有界誤差ランダム化アルゴリズムはΩ(|S||A|)のクエリを必要とし、関数の双子を区別する情報理論的下界と一致している。
• 本研究では、DP問題に対する任意の潜在的な二次量子高速化が、多項対数的要因を除いて最適であることが示されている。
• 結果として、コherent QRAMアクセスが可能であっても、DP問題に対して指数的量子高速化が排除された。
• 分析は、TSP、最小セットカバー、編集距離といった主要なNP困難問題に適用可能であり、それらの量子複雑性が根本的に制限されていることを示している。
• フレームワークは、DPインスタンスの識別を関数の双子の識別へ還元し、反証法の技術の適用を可能にしている。