[論文レビュー] The Problem Of Gauge Theory

Edward Witten|ArXiv.org|Dec 24, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は4次元時空におけるゲージ理論の量子化に取り組み、ヤン・ミルズ理論の質量ギャップ問題に焦点を当てる。ハミルトニアン形式と格子ゲージ理論の近似を用いて、格子間隔がゼロに近づく際に量子理論が質量ギャップを持つ極限に収束することを主張し、非線形古典波が理論的には存在するにもかかわらず、自然界では観測されない理由を説明する。

ABSTRACT

I sketch what it is supposed to mean to quantize gauge theory, and how this can be made more concrete in perturbation theory and also by starting with a finite-dimensional lattice approximation. Based on real experiments and computer simulations, quantum gauge theory in four dimensions is believed to have a mass gap. This is one of the most fundamental facts that makes the Universe the way it is. This article is the written form of a lecture presented at the conference "Geometric Analysis: Past and Future" (Harvard University, August 27-September 1, 2008), in honor of the 60th birthday of S.-T. Yau.

研究の動機と目的

• 4次元ヤン・ミルズ理論におけるゲージ理論の量子化の概念的・技術的課題を明確化すること。
• 強い相互作用と弱い相互作用を電磁気学と区別する根本的特徴としての質量ギャップの重要性を動機づけること。
• ハミルトニアンに基づく格子ゲージ理論のアプローチを提示し、量子ヤン・ミルズ理論を厳密に定義するための具体的な道筋を示すこと。
• 古典的非線形ヤン・ミルズ波が自然界に観測されない理由を、低エネルギー古典的振る舞いを抑制する質量ギャップによって説明すること。
• 質量ギャップが数学的物理における中心的未解決問題であることを強調し、宇宙の構造に及ぼす深い影響を示すこと。

提案手法

• カウチ超曲面を持つ時空上でヤン・ミルズ理論をハミルトニアン的アプローチで定式化し、より概念的明瞭性を得るために経路積分形式を避ける。
• 有限次元の格子を用いてハミルトニアンを近似し、曲率を最小ループ（プレート）回りのホロノミーで定義する。
• プレート回りのホロノミーのトレースの和として格子ハミルトニアンを構築し、アーベル極限（Uℓ = 1）で消えるように調整する。
• 格子間隔a → 0のとき、g ∼ f / |ln a| と変動する結合定数gを導入し、グロス、ウィルツェック、ポリツァーが発見した漸近的自由性を反映する。
• 格子を細分化し、gを適切に調整することで連続極限を分析し、ハミルトニアンや他の演算子が定義された量子理論に収束することを目指す。
• 結果として得られる量子理論は共形不変性を破り、古典理論が共形不変であるのに対し、質量ギャップを示すことを主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元ミンコフスキー時空における量子ゲージ理論を、ハミルトニアンフレームワークを用いて厳密に定義する方法は何か？
• RQ2 古典的非線形ヤン・ミルズ波が古典方程式の解であるにもかかわらず、なぜ自然界に現れないのか？
• RQ3 質量ギャップが、量子ヤン・ミルズ理論と古典的あるいはアーベルゲージ理論（電磁気学）を区別する上で果たす役割は何か？
• RQ4 格子間隔a → 0のとき、結合定数gはどのように調整されるべきか？物理的量子理論への収束を保証するためには。
• RQ5 連続極限における格子ゲージ理論が、古典理論が共形不変であるのにもかかわらず、なぜ共形対称性を破るのか？

主な発見

• 4次元における量子ヤン・ミルズ理論には質量ギャップがあると信じられており、これは物理的状態（真空を除く）がすべて正の質量を持つことを意味し、観測可能な古典的非線形波の不在を説明する。
• 質量ギャップは非摂動的量子効果として生じ、理論を励起するために必要な最小周波数は約10^24 sec⁻¹であり、日常経験とはかけ離れている。
• 連続極限（a → 0）において、格子ハミルトニアンはg ∼ f / |ln a| と調整された結合定数のもとで定義された量子理論に収束する。これは漸近的自由性を反映している。
• 結果として得られる量子理論は古典ヤン・ミルズ作用の共形不変性を破り、質量ギャップを持つスペクトルを示す。これはQEDにおける質量ゼロの光子とは対照的である。
• 質量ギャップは摂動論や漸近展開では見えないため、実験や格子シミュレーションで確認されているにもかかわらず、定量的計算は極めて困難である。
• 自然界における古典的非線形波の不在は、質量ギャップに起因する。非線形波の実現には高エネルギー・高周波数の状態が必要であり、現行技術では到達不可能である。