[論文レビュー] The problem of harmonic analysis on the infinite-dimensional unitary group

Grigori Olshanski|ArXiv.org|Sep 24, 2001

Random Matrices and Applications参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非局所的コンパクト性のため通常の正則表現が存在しない無限次元ユニタリ群 $U(\infty)$ における調和解析の問題を、4パラメータの「自然な」ユニタリ表現族を導入することで定式化する。この表現族は正則表現の代わりに機能する。任意の $U(\infty)$ の特徴関数のスペクトル測度が、$U(N)$ への制限からの離散スペクトル測度の弱収束によって近似可能であることが示され、調和解析の問題が確率行列理論および漸近的組合せ論における漸近的極限問題に還元される。この問題の解は、同行の論文 [BO4] で完全に得られている。

ABSTRACT

The goal of harmonic analysis on a (noncommutative) group is to decompose the most `natural' unitary representations of this group (like the regular representation) on irreducible ones. The infinite-dimensional unitary group U(infinity) is one of the basic examples of `big' groups whose irreducible representations depend on infinitely many parameters. Our aim is to explain what the harmonic analysis on U(infinity) consists of. We deal with unitary representations of a reasonable class, which are in 1-1 correspondence with characters (central, positive definite, normalized functions on U(infinity)). The decomposition of any representation of this class is described by a probability measure (called spectral measure) on the space of indecomposable characters. The indecomposable characters were found by Dan Voiculescu in 1976. The main result of the present paper consists in explicitly constructing a 4-parameter family of `natural' representations and computing their characters. We view these representations as a substitute of the nonexisting regular representation of U(infinity). We state the problem of harmonic analysis on U(infinity) as the problem of computing the spectral measures for these `natural' representations. A solution to this problem is given in the next paper math/0109194, joint with Alexei Borodin. We also prove a few auxiliary general results. In particular, it is proved that the spectral measure of any character of U(infinity) can be approximated by a sequence of (discrete) spectral measures for the restrictions of the character to the compact unitary groups U(N). This fact is a starting point for computing spectral measures.

研究の動機と目的

• $U(\infty)$ の正則表現の意味のある代替を定義すること。これは、非局所的コンパクト性のため通常の正則表現が存在しないことによる。
• 任意の $U(\infty)$ の特徴関数のスペクトル測度が、$U(N)$ への制限から生じる離散スペクトル測度によって近似可能であることを確立すること。
• $U(\infty)$ 上の調和解析問題を、4パラメータの「自然な」表現族のスペクトル測度の計算問題に再定式化すること。
• 後続の研究 [BO4] でのこれらのスペクトル測度の明示的計算のための、特に coherent systems と極端な特徴関数に関する分析的・構造的基盤を構築すること。

提案手法

• $G = U(\infty) \times U(\infty)$ のユニタリ表現族を構成し、$K$（$U(\infty)$ に同型な対角部分群）に関して循環的 $K$-不変ベクトルを持つようにする。これにより球対称表現が得られる。
• 球対称表現と特徴関数の対応関係を用いる：各表現は $U(\infty)$ 上の中心的、正定値的、正規化された関数（特徴関数）に対応する。
• Gelfand-Tsetlin パターン $\mathbb{GT}_N$ 上の coherent systems $\{P_N(\cdot \mid z,z,w,w')\}$ を用いて、4パラメータの特徴関数 $\chi_{z,z,w,w'}$ を定義する。
• 簪の符号と coherent systems の収束を用いて、任意の $U(\infty)$ の特徴関数のスペクトル測度が、$U(N)$ への制限に関連する離散スペクトル測度の弱収束であることを証明する。
• $U(\infty)$ の極端な特徴関数が、Gelfand-Tsetlin グラフにおける無限パスの空間上の極端な中心測度に対応し、境界点 $\omega \in \Omega$ に到達する正則パスの上に台を持つことを確立する。
• 調和解析問題を、特徴関数 $\chi_{z,z,w,w'}$ のスペクトル測度 $P$ の計算問題に翻訳する。この測度は、有限次元測度 $\underline{P}_N$ の極限として示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $U(\infty)$ の正則表現の適切な代替は何か。非局所的コンパクト性のため通常の正則表現が存在しないことから、この問題が生じる。
• RQ2 $U(\infty)$ の特徴関数のスペクトル測度は、有限次元ユニタリ群 $U(N)$ への制限を用いてどのように近似可能か。
• RQ3 $U(\infty)$ の極端な特徴関数の空間の構造は何か。また、Gelfand-Tsetlin グラフの境界とはどのように関係しているか。
• RQ4 $U(\infty)$ 上の調和解析問題は、確率行列理論または漸近的組合せ論における漸近的問題にどのように還元できるか。
• RQ5 $\mathbb{GT}_N$ 上の coherent systems $\{P_N\}$ と、それらから得られる特徴関数のスペクトル測度との間の明確な関係は何か。

主な発見

• 任意の $U(\infty)$ の特徴関数のスペクトル測度は、$U(N)$ への制限から得られる離散スペクトル測度の列によって近似可能であり、有限次元と無限次元調和解析の間の重要な接続を確立する。
• $U(\infty)$ の極端な特徴関数は、Gelfand-Tsetlin グラフの境界点 $\omega \in \Omega$ と一対一に対応し、各極端な特徴関数 $\chi^{(\omega)}$ は、$\omega$ に到達する正則パスの集合に台を持つ極端な中心測度 $M^{(\omega)}$ に対応する。
• 4パラメータの特徴関数族 $\chi_{z,z,w,w'}$ は、$\mathbb{GT}_N$ 上の coherent systems $P_N(\cdot \mid z,z,w,w')$ を用いて構成され、調和解析のための自然な表現族を提供する。
• 特徴関数 $\chi$ に関連する球対称表現 $T_{\chi}$ の分解は、多重度が1であり、スペクトル測度 $P$ によって支配される。この測度は、既約球対称表現への直積分分解を記述する。
• $U\left(\infty\right)$ 上の調和解析問題は、特徴関数 $\chi_{z,z,w,w'}$ のスペクトル測度 $P$ の計算問題に還元され、この測度が有限次元測度 $\underline{P}_N$ の弱収束として示される。
• 全てのスペクトル測度の計算の解は、同行の論文 [BO4] で完了されており、その中でスペクトル測度が確率的点過程を用いて明示的に記述されている。これは表現論における新しい道具である。