[論文レビュー] The product formula for Gromov-Witten invariants

Kai Behrend|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、滑らかで射影的多様体の積のGromov-Witten不変量についての積公式を確立し、$V \times W$ の不変量が、仮想基本クラスを通じて $V$ と $W$ の不変量のカップ積によって与えられることを証明する。主な結果は、積のGromov-Witten変換と個々の変換のカップ積との間の自然同型であり、モチビック技法と DMC-モチーフの同一性原理を用いて検証される。

ABSTRACT

We prove that the system of Gromov-Witten invariants of the product of two varieties is equal to the tensor product of the systems of Gromov-Witten invariants of the two factors.

研究の動機と目的

• 積多様体 $V \times W$ のGromov-Witten不変量が、因子 $V$ と $W$ の不変量とどのように関係するかを特定すること。
• 仮想基本クラスを用いた一般のGromov-Witten不変量の積公式を確立すること。
• カテゴリの DMC-モチーフにおいて、$V \times W$ のGromov-Witten変換が $V$ と $W$ の変換のカップ積に一致することを証明すること。
• モチビックおよびスタック論的技法を用いて、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ の直感的な数え上げ的議論を、任意の滑らかで射影的多様体へと拡張すること。

提案手法

• 安定なモジュラー図形と拡張された同種写像を持つ圏上の関手の間の自然変換としてのモチビックGromov-Witten不変量の枠組みを用いる。
• 安定図形の圏上で、射影 $p_V$ と $p_W$ を通じて $V$ と $W$ のデータを $V \times W$ に引き戻す関手 $\Psi_p$ を定義し、安定化と軌道写像を保存する。
• モジュライ空間上の対角写像 $\Delta^*$ を介して引き戻しを行い、個々の不変量を合成することで、自然変換 $I^{V} \cup I^{W} = \Delta^* (I^V \otimes I^W)$ を構成する。
• DMC-モチーフの同一性原理（[3] の命題 8.2）を適用して、$I^{V} \cup I^{W} = I^{V \times W}$ を示し、積公式を確立する。
• 仮想基本クラスがファイバー積と整合すること、およびGromov-Witten構成が適切な同種写像と辺の収縮に関して関手的であることを利用する。
• グレーディングされた DMC-モチーフの圏におけるテンソル積の同一性 $h(V)^{\otimes S}(\chi \dim V) \otimes h(W)^{\otimes S}(\chi \dim W) = h(V \times W)^{\otimes S}(\chi \dim V \times W)$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積多様体 $V \times W$ のGromov-Witten不変量は、$V$ と $W$ の不変量のどのようないずれに分解されるか？
• RQ2 $V \times W$ のGromov-Witten変換は、$V$ と $W$ の変換のカップ積として表現可能か？
• RQ3 仮想基本クラスは、非凸多様体のGromov-Witten不変量を定義する際に果たす役割は何か？
• RQ4 Gromov-Witten不変量のモチビック形式的構造は、基礎となる多様体の積構造をどのように表現するか？
• RQ5 積公式は、安定写像とモジュラー図形の関手的構造と整合的か？

主な発見

• 多様体 $V \times W$ のGromov-Witten不変量は、$V$ と $W$ の不変量のカップ積で与えられ、符号補正が加わる：$I^{V \times W}_{g,n}(\beta)(\gamma \otimes \epsilon) = (-1)^s I^V_{g,n}(\beta_V)(\gamma) \cup I^W_{g,n}(\beta_W)(\epsilon)$、ここで $s = \sum_{i>j} \deg \gamma_i \deg \epsilon_j$。
• 古典的交線論ではなく仮想基本クラスを用いることで、任意の滑らかで射影的多様体に対して積公式が成り立つ。
• Gromov-Witten変換 $I^{V \times W}$ は、合成 $\Delta^* \circ (I^V \otimes I^W)$ と一致し、DMC-モチーフの圏における自然同型を確立する。
• 証明は、生成子部分圏上で等しいことから自然変換の等しさを導くDMC-モチーフの同一性原理に依存する。
• 構成は関手的である：$V \times W$ の安定図形の圏から $V$ と $W$ の図形のファイバー積への写像 $\Psi$ は、拡張された同種写像と安定化の構造を保存する。
• 結果は、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ の直感的な場合を一般化するものであり、$(d_1,d_2)$-型の曲線が $2(d_1 + d_2) + g - 1$ 個の点を通る数は、各因子の数の積に等しい。