[論文レビュー] The product of trees in the Loday-Ronco algebra through Catalan alternative tableaux

Jean-Christophe Aval, Xavier Gérard Viennot|ArXiv.org|Dec 4, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、二分木のLoday-Roncoホップ代数における積を単純で視覚的な記述で与えるための組合せ的道具として、カタロニア別表（Catalan alternative tableaux）を導入する。セルにラベルを付けて色分けされた点を含む表を用いて木の積を符号化することで、内部頂点の数を保ちつつ、表の連結と点の配置ルールによって新たな結合的積 $\,#\,$ を定義する。

ABSTRACT

The aim of this note is to show how the introduction of certain tableaux, called Catalan alternative tableaux, provides a very simple and elegant description of the product in the Hopf algebra of binary trees defined by Loday and Ronco. Moreover, we use this description to introduce a new associative product on the space of binary trees.

研究の動機と目的

• Loday-Ronco代数の積をカタロニア別表を用いて組合せ的かつ視覚的に記述すること。
• 二分木とカタロニア別表の間の双対写像を確立し、木の構造と表の形状および点の配置を結びつけること。
• 表の連結と有効な点の配置に基づき、新たな結合的積 $\,#\,$ を二分木の空間に定義すること。
• 新しい $\,#\,$ 積が内部頂点の数を保存することを示し、$Y_{k+l-1}$ におけるwell-definedな積をもたらすこと。
• 表に基づくアルゴリズムと順列の標準化の観点から、木の積の理解を統合すること。

提案手法

• セルが下にある、$\{0\} \times \mathbb{N}$ から $\mathbb{N} \times \{0\}$ へのパスとして定義されるカタロニア別表を、青と赤の点でラベル付けする。
• 木のUp-Down列を表のパスの形状に写像することで、二分木とカタロニア別表の間の双対写像を確立する。
• 順列の標準化と $\Psi$-写像を用い、順列と木、およびその逆像としての表のラベル付けを関連付ける。
• 表にラベル付きの要素と色分けされた点を持つ表を、増加する二分木に変換する双対的アルゴリズムを適用する。
• 表の連結と有効な点の配置に基づき、$\,#\,$ 積を定義する。この積は、得られる長方形内に任意の有効な点配置を持つ表 $C_1$ と $C_2$ を連結して得られるすべての木の和として定義される。
• Loday-Ronco代数における積が、一貫性のある点配置を持つこのような表の連結から得られる木の和に正確に一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Loday-Ronco代数における二つの二分木の積は、カタロニア別表を用いてどのように組合せ的に記述できるか？
• RQ2 二分木の構造とその関連するカタロニア別表の形状および点配置との間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 表の連結と有効な点配置に基づき、二分木上に新たな結合的積を定義できるか。その構造的性質は何か？
• RQ4 $\,#\,$ 積が内部頂点の数をどのように保存するか。これは空間の代数的次数付けにどのような意味を持つのか？
• RQ5 点の配置とラベル付けにどのような条件を課えると、双対的アルゴリズムによって得られる表が増加する二分木を生成するか？

主な発見

• Loday-Ronco代数における二つの木 $T_1$ と $T_2$ の積は、$T_1$ と $T_2$ の表を連結し、得られる長方形内に任意の有効な点配置を施したカタロニア別表に対応するすべての木 $T$ の和として与えられる。
• 木 $T$ に関連するカタロニア別表の形状は、$T$ のUp-Down列（またはキャノピー）に正確に一致する。これは、$\Psi(\sigma) = T$ を満たす任意の順列 $\sigma$ のUp-Down列とも一致する。
• ラベル付きカタロニア別表が増加する二分木を生成するのは、その形状が順列のUp-Down列と一致し、点配置がその順列に対応する表の点配置と一致する場合に限る。
• 新しい $\,#\,$ 積は結合的であり、$T_1 \in Y_k$ と $T_2 \in Y_l$ を $Y_{k+l-1}$ 内の木の和に写像する。このとき内部頂点の総数が保存される。
• $\,#\,$ 積は明示的に $\text{S1} \,#\, \text{S2} = \text{S3} + \text{S4} + \text{S5}$ として図示されており、表の連結と有効な点配置による組合せ的構成が確認されている。
• 証明の根拠は、積 $\Psi^*(T_1) * \Psi^*(T_2)$ に属する任意の順列 $\sigma$ が、$T_1$ と $T_2$ を標準化で得られる二つの部分に分解可能であり、その表構造が $C_1$ と $C_2$ の連結に一致し、点配置が一貫しているという事実に依拠している。