[論文レビュー] The Profile of relations

Maurice Pouzet|ArXiv.org|Mar 8, 2007

Advanced Topology and Set Theory参考文献 37被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、関係的構造のプロファイル（有限部分構造の同型型の数え上げ関数）を調査し、有界なアリティまたは有限カーネル条件の下で、プロファイルが多項式的または多項式より速く成長することを示している。主な結果として、関係的構造の年齢が枯渇せず、高さが高々 ω(k+1) であるとき、そのプロファイルは二項係数 $inom{n+k}{k}$ によって上から抑えられることを確立しており、組合せ論、順序論、および年齢代数のヒルベルト級数を結びつける。

ABSTRACT

The {\it profile} of a relational structure $R$ is the function $ϕ_R$ which counts for every integer $n$ the number of its $n$-element substructures up to an isomorphism. Many counting functions are profiles. Interesting examples come from permutation groups. Some salient facts about the behavior of the profile are presented. Techniques from ordered sets and combinatorics (notably the notion of well-quasi-order, the related notions of ordered algebras, Ramsey theorem) are illustrated. Ongoing resarch suggests to view the profile of a relational structure $R$ as the Hilbert function of some graded algebra associated with $R$. A hint at the solution of a conjecture of P.J.Cameron on the integrity of the ring of the orbit algebra is given. Recent progress made with Y.Boudabbous and N.Thiéry on the conjecture that the profile is a quasi-polynomial if its growth is polynomial (and the structure has a finite kernel) are presented.

研究の動機と目的

• 関係的構造における n 要素部分構造の同型型を数えるプロファイル関数 φ_R(n) の成長挙動を分析すること。
• 有界なアリティまたは有限カーネル条件の下で、プロファイルが多項式的またはすべての多項式より速く成長することを確立すること。
• カマリオンが導入した年齢代数のヒルベルト級数とプロファイルを結びつけ、その整合性に関する予想を解決すること。
• 特にトーナメントを含む、多項式的プロファイルを示す関係的構造を、組合せ論的および順序論的道具を用いて特徴づけること。
• 年齢が埋め込みに関して非常に良い順序付け（very-well-quasi-ordered）である場合、プロファイルが指数関数的に上界を持つかどうかを調査すること。

提案手法

• 関係的構造の年齢と、その有限部分構造の整列順序における高さの概念を用いる。
• ラマジー理論と非常に良い順序付け（WQO）を適用し、部分構造型の複雑さを制御する。
• マルチチェーン可能性と有限カーネルによる削減の概念を用いて、プロファイル成長を分析する。
• カマリオンによる年齢代数の構成を活用し、そのヒルベルト関数がプロファイル φ_R(n) に等しいことを示す。
• 数学的帰納法と組合せ的評価（パスカルの恒等式を含む）を用いて、不等式 $\varphi_R(n) \leq \binom{n+k}{k}$ を証明する。
• 年齢が枯渇せず、高さが有界であるとき、チェーン分解の存在といった順序論的結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関係的構造のプロファイルが多項式的成長を示すのではなく、すべての多項式より速く成長する条件は何か？
• RQ2 プロファイルが多項式によって上界を持つ場合、その母関数が有理関数であることを示せるか、特に構造に有限カーネルがある場合にそうなるか？
• RQ3 カマリオンの予想である、関係的構造の年齢代数が常に整数的（integral）であるという予想は正しいか？
• RQ4 年齢の高さが ω(k+1) であるとき、プロファイルの最大の可能な成長率は何か？
• RQ5 年齢が埋め込みに関して非常に良い順序付け（very-well-quasi-ordered）である場合、プロファイルが指数関数的に上界を持つと予想できるか？

主な発見

• 関係的構造の年齢が枯渇せず、高さが高々 ω(k+1) であるとき、すべての n に対して $\varphi_R(n) \leq \binom{n+k}{k}$ が成り立つ。
• 有限カーネルまたは有界アリティを持つ関係的構造のプロファイルは、その年齢の高さに応じて、多項式的成長またはすべての多項式より速い成長を示す。
• プロファイルが多項式によって上界を持つ場合、かつ構造が単型成分への有限分解を許容する場合、そのプロファイルの母関数は有理関数である。
• カマリオンによる年齢代数の整合性に関する予想は、肯定的に解決された。
• 多項式的プロファイルを示すトーナメントについては、プロファイル成長の上限と構造的分解を用いて、完全な特徴づけが得られた。
• 年齢の高さが ω(k+1) であるとき、プロファイルは少なくとも次数 k の多項式として成長し、これが鋭い下界であることが示された。