[論文レビュー] The profinite completion of a group localised at a subgroup

Colin D. Reid|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、共役的部分群における群のプロフィニート的完備化を導入し、元の群 $G$ を稠密に埋め込み、部分群 $K$ のプロフィニート的完備化を開コンパクト部分群として実現する、完全不連結局所コンパクト（t.d.l.c.）群 $ψ_G^K$ を構成する。主な貢献は普遍性である：$K$ の像がプロフィニート的であるような t.d.l.c. 群への $G$ からの任意の準同型は、この完備化を通じて一意に因数分解可能である。

ABSTRACT

Let $G$ be a group and let $K$ be a commensurated subgroup of $G$. Then there is a totally disconnected, locally compact (t.d.l.c.) group $\hat{G}_K$ that contains the profinite completion of $K$ as an open compact subgroup and also contains $G$ (modulo the finite residual of $K$) as a dense subgroup. Moreover, given an arbitrary group $G$, then every t.d.l.c. group containing an image of $G$ as a dense subgroup can be realised as a quotient of $\hat{G}_K$ for some commensurated subgroup $K$.

研究の動機と目的

• 残差有限群に限らないが、豊富な有限商を持つ共役的部分群を含む群に対するプロフィニート的完備化の構成を一般化すること。
• 共役的部分群 $K$ における $G$ の局所プロフィニート的構造を捉える標準的な t.d.l.c. 群 $ψ_G^K$ を定義すること。
• 任意の $G$ から t.d.l.c. 群への準同型が $K$ の像がプロフィニート的である場合、その準同型が $ψ_G^K$ を通じて一意に因数分解されることを保証する普遍性を確立すること。
• 局所化完備化と標準的プロフィニート完備化との関係を明確にすること、特に $K$ および $\mathrm{Comm}_G(K)$ の部分群に関して。

提案手法

• 群 $G$ の、$K$ の有限指数部分群のフィルターに関する完備化として、$\hat{G}_K$ を定義する。これは $G$ 上のフィルターの同値類を用いる。
• $\hat{G}_K$ に、$g \in G$, $N \in \mathcal{F}(K)$ に対して $B(gN) = \{[f] \in \hat{G}_K \mid gN \in f\}$ を基本開集合とする群位相を導入し、これにより t.d.l.c. 群とする。
• $G$ から $\hat{G}_K$ への標準的準同型 $\theta: G \to \hat{G}_K$ を構成し、その像が稠密であり、$\theta|_K$ が $K$ を連続的に開コンパクト部分群 $\overline{\theta(K)}$ に写像することを示す。
• 普遍性を証明する：任意の連続準同型 $\phi: G \to R$ で $\overline{\phi(K)}$ がプロフィニート的であるようなものに対して、$\phi = \psi \circ \theta$ を満たす一意な連続準同型 $\psi: \hat{G}_K \to R$ が存在することを示す。
• $\theta|_K$ が $K$ の標準的プロフィニート完備化を誘導することを示し、$\hat{K}_K = \hat{K}$ が成り立ち、$\overline{\theta(K)}$ が位相群として $\hat{K}$ に同型であることを示す。
• $\hat{G}_K$ が共役的部分群の選び方に依存しないことを示す：$K$ と $L$ が共役的ならば、$\hat{G}_K = \hat{G}_L$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 残差有限でないが、豊富な有限商を持つ共役的部分群を含む群に対して、プロフィニート的完備化の構成をどのように一般化できるか？
• RQ2 共役的部分群 $K$ における $G$ の完備化として得られる t.d.l.c. 群が、どのような普遍的性質を持つのか？
• RQ3 局所化完備化 $\hat{G}_K$ は、$G$ の構造および $G$ から t.d.l.c. 群への準同型をどの程度にまで記述するのか？
• RQ4 局所化完備化は、$K$ の標準的プロフィニート完備化および $\mathrm{Comm}_G(K)$ とどのように関係しているか？
• RQ5 $\theta: G \to \hat{G}_K$ が連続または同型であるための条件は何か？

主な発見

• 局所化プロフィニート的完備化 $\hat{G}_K$ は、$G$ を稠密部分群として含み、$K$ のプロフィニート的完備化を開コンパクト部分群として持つ t.d.l.c. 群である。
• $\theta: G \to \hat{G}_K$ は普遍的である：任意の連続準同型 $\phi: G \to R$ で $\overline{\phi(K)}$ がプロフィニート的であるようなものに対して、連続な $\psi: \hat{G}_K \to R$ が一意に存在し、$\phi = \psi \circ \theta$ を満たす。
• $\theta|_K$ は $K$ の標準的プロフィニート完備化を誘導するため、$\hat{K}_K = \hat{K}$ であり、$\overline{\theta(K)}$ は位相群として $\hat{K}$ に同型である。
• $\theta$ の核は、すべての有限指数の閉部分群の $K$ 内の共通部分である。また、任意のこのような $N$ に対して $\theta^{-1}(\overline{\theta(N)}) = N$ が成り立つ。
• $K$ と $L$ が $G$ の共役的部分群であれば、$\hat{G}_K = \hat{G}_L$ である。これは、完備化が $K$ の共役類にのみ依存することを意味する。
• 群 $G$ が離散的で $K$ が共役的であるとき、$\hat{G}_K$ は普遍性により、$G$ から t.d.l.c. 群へのすべての準同型をカバーする。また、$\theta$ が連続であるための必要十分条件は、$K$ が $G$ で開であることである。