[論文レビュー] The projected Newton-Kleinman method for the algebraic Riccati equation

Davide Palitta|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 36被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、拡張または有理的クリロフ部分空間を用いた1つの投影枠組み内で不正確ニュートン・クラインマン反復を統合することにより、大規模な代数リッカティ方程式を解くための新しいアルゴリズム、投影ニュートン・クラインマン法を提案する。主な貢献は、線分探索を正確にすることでリッカティ残差ノルムの単調減少を保証するとともに、反復間で計算作業を再利用し、収束性の性質を損なわずに収束を著しく加速することにある。

ABSTRACT

The numerical solution of the algebraic Riccati equation is a challenging task especially for very large problem dimensions. In this paper we present a new algorithm that combines the very appealing computational features of projection methods with the convergence properties of the inexact Newton-Kleinman procedure equipped with a line search. In particular, the Newton scheme is completely merged in a projection framework with a single approximation space so that the Newton-Kleinman iteration is only implicitly performed. Moreover, the line search turns out to be exact in our setting, i.e., the existence of a local minimum of the Riccati residual norm along the current search direction is guaranteed and the corresponding minimizer is chosen as step-size. This property determines a monotone decrease of the Riccati residual norm under some mild assumptions. Several numerical results are reported to illustrate the potential of our novel approach.

研究の動機と目的

• 解が密行列であり、保存および計算に高コストがかかる大規模な代数リッカティ方程式を解く際の計算的課題に対処すること。
• 統一された投影枠組みを通じて反復間で情報を再利用することにより、不正確ニュートン・クラインマン法の効率を向上させること。
• やや弱い仮定のもとで、リッカティ残差ノルムの収束を単調に減少させることを保証すること。
• 拡張または有理的クリロフ部分空間の構造を活用しながら、ニュートン・クラインマン反復を暗黙的に行うフレームワークを構築すること。

提案手法

• 不正確ニュートン・クラインマン反復を、拡張クリロフ部分空間または有理的クリロフ部分空間を近似空間として用いる1つの投影空間に埋め込む。
• すべてのニュートン・クラインマン反復が同じ部分空間に制限されるため、反復間でクリロフ基底ベクトルを再利用できる。
• 線分探索を正確にすることで、探索方向に沿った残差ノルムの最小値が保証され、それがステップサイズとして選ばれる。
• 元のニュートン・クラインマン法が持つ収束性の性質を維持しつつ、共有されたクリロフ部分空間によって著しく高速化される。
• ブロックアーノルド過程を用いてクリロフ部分空間の正規直交基底を構築し、ガラーキン射影により解の低ランク近似を計算する。
• 各ステップで残差ノルムを正確に最小化し、やや弱い仮定のもとですべての k に対して行列 A - X_k B B^T が安定であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不正確ニュートン・クラインマン法を、反復間での計算作業の共有を活用する投影枠組み内で再定式化できるか？
• RQ2 例えば拡張または有理的クリロフ部分空間のような、1つの固定された近似空間を用いることで、ニュートン・クラインマン法の収束性が保たれるか？
• RQ3 投影枠組み内で、ニュートン・クラインマン法の線分探索を正確にできるか？ これにより、残差ノルムの単調減少が保証されるか？
• RQ4 投影ニュートン・クラインマン法によって生成される反復の安定化特性は何か？
• RQ5 標準的なニュートン・クラインマン法および投影ベースの手法の実装と比較して、提案手法の効率性および精度はどのように異なるか？

主な発見

• 提案手法における線分探索は正確である：探索方向に沿ったリッカティ残差ノルムの最小値が保証され、それがステップサイズとして選ばれる。
• やや弱い仮定のもとで残差ノルムは単調に減少し、収束の堅牢性が保証される。
• すべてのニュートン・クラインマン反復が同じ投影部分空間内に存在するため、クリロフ基底ベクトルの再利用が可能となり、計算コストが低減される。
• すべての k に対して行列 A - X_k B B^T が安定であることが保証され、制御理論的文脈において計算された反復が意味を持つことが保証される。
• 共有されたクリロフ空間内でニュートン・クラインマン反復を暗黙的に実行することで、収束保証を損なわずに著しい高速化が達成される。
• 数値実験により、大規模な問題に対して本手法の有効性が確認され、効率性および堅牢性の両方が示された。