[論文レビュー] The Projective Hull of Certain Curves in C^2

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ℂ² 内のコンpaktoで安定かつ実解析的曲線 γ に対して、射影的包因の γ を除いた部分が、ℙ²−γ の 1 次元複素解析的部分多様体であることを証明する。Bishop の有限性議論を射影的包因に適応することで、ほとんどすべての複素直線に対して、包因とその直線の交わりが可算であることを示し、主結果に至る。すなわち、包因の γ を除いた補集合は、γ 上で所定の境界性質を示す解析的曲線の和集合である。

ABSTRACT

The projective hull X^ of a subset X in complex projective space P^n is an analogue of the classical polynomial hull of a set in C^n. If X is contained in an affine chart C^n on P^n, then the affine part of X^ is the set of points x in C^n for which there exists a constant M=M_x so that |p(x)| < M^d sup{|p(y)| : y in X} for all polynomials p of degree less than or equal to d, and any d > 0. Let X^(M) be the set of points x where M_x can be chosen < M. Using an argument of E. Bishop, we show the following. Let G be a compact real analytic curve (not necessarily connected) in C^2. Then for any linear projection p: C^2 --> C^1, the set of points in G^(M) lying above a point z in C^1 is finite for almost all z. Using this, we prove the conjecture that for any compact stable real-analytic curve G in P^n, the set G^-G is a 1-dimensional complex analytic subvariety of P^n-G.

研究の動機と目的

• ℙⁿ における単純閉曲線の有限個の和集合からなる実解析的曲線 γ に対して、Conjecture 1.1 を証明する。すなわち、γ を除いた射影的包因  \widehat{\gamma} - \gamma が 1 次元複素解析的部分多様体であることを示す。
• 安定性の仮定の下で、一般の複素直線との交わりの有限性を確立する。
• 安定な曲線に対して、集合  \widehat{\gamma} - \gamma が、γ の成分に境界を持つ既約解析的曲線の和集合であることを示す。
• Bishop の手法を適応することで、多項式凸性から射影的包因へと結果を拡張する。

提案手法

• 多項式凸性における Errett Bishop の有限性議論を、ℙⁿ 内の射影的包因の文脈に適応する。
• 任意の多項式 p の次数 d に対して、|p(x)| ≤ M^d sup_X |p| を満たす点 x ∈ ℂⁿ の集合を  \widehat{X}_M として定義する。
• 2 変数多項式の双次数 (d,e) の概念を導入し、成長の制御と最大値原理の適用を可能にする。
• 各 z に対して、S_M(z) = {w ∈ ℂ : |Q(z,w)| ≤ M^{d+e} sup_X |Q| がすべての双次数 (d,e) の Q に対して成り立つ} として、z 上のファイバーを分析する。
• Federer の平坦な補助定理と King の電流に関する構造定理を用いて、解析的成分の境界性質を分析する。
• 実解析的曲線の複素化を用いて、包因の成分にマッピングする埋め込まれたリーマン面を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂ² 内の安定で実解析的な曲線 γ に対して、γ を除いた射影的包因  \widehat{\gamma} - \gamma は 1 次元複素解析的部分多様体となるか？
• RQ2 ほとんどすべての複素直線に対して、射影的包因とその直線の交わりは有限か可算か？
• RQ3 射影的包因の構造は、元の曲線の成分に境界を持つ解析的曲線の和集合に分解可能か？
• RQ4 有界定数 C_x の有界性（安定性）が包因が解析的であることを保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意のコンパクトな実解析的曲線 γ ⊂ ℂ² と線形射影 π: ℂ² → ℂ に対して、ほとんどすべての z ∈ ℂ に対して  \widehat{\gamma}_M ∩ π^{-1}(z) は有限集合である。
• ほとんどすべての z ∈ ℂ に対して  \widehat{\gamma}(z) = \bigcup_M \widehat{\gamma}_M(z) は可算集合である。
• γ ⊂ ℙⁿ が単純閉曲線の有限個の和集合であり、安定であるならば、 \widehat{\gamma} - \gamma は ℙⁿ − γ の 1 次元複素解析的部分多様体である。
•  \widehat{\gamma} - \gamma の各既約成分は、γ の成分の和集合に境界を持つリーマン面、またはある γ_k の複素化を含む代数的曲線のいずれかである。
• 各解析的成分 V_j の閉包の境界は、γ の成分 γ_j の和集合であり、重複度 1 である。この成分は γ_j の複素化による解析的接続によって得られる。
• 射影的包因  \widehat{\gamma} は有限面積であり、有限個の既約成分を持つ。これは、一般の ℙ¹ への射影で有限枚重ねであることを示す。