[論文レビュー] The Proof of Convergence with Probability 1 in the Method of Expansion of Iterated Ito Stochastic Integrals Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2020

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の重複度に対する反復伊藤確率積分のほとんど確実（確率1）収束を、一般化された多重フーリエ級数展開を用いて証明する。この手法は、正規直交系（特にルジャンドルおよび三角関数級数）に依存し、積分の非確率的カーネル関数から得られる係数を用いる。収束はモーメント推定とパーソバルの等式を用いて確立され、従来の平均二乗収束および2n次のモーメント収束結果がほとんど確実収束へと拡張される。

ABSTRACT

The article is devoted to the formulation and proof of the theorem on convergence with probability 1 of expansion of iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity based on generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in Hilbert space. The cases of multiple Fourier-Legendre series and multiple trigonomertic Fourier series are considered in detail. The proof of the mentioned theorem is based on the general properties of multiple Fourier series as well as on the estimate for the fourth moment of approximation error in the method of expansion of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series.

研究の動機と目的

• 任意の重複度に対する反復伊藤確率積分の展開法のほとんど確実収束（確率1）を確立すること。
• 従来の平均二乗収束または2n次のモーメント収束に限られていた収束結果を、ほとんど確実収束へと拡張すること。
• 多重フーリエ–ルジャンドルおよび多重三角関数フーリエ級数展開の収束行動を特に分析すること。
• 一般化されたフーリエ級数を用いた確率微分方程式の数値的手法に、厳密な理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 反復伊藤確率積分のカーネル関数を、$[t,T]^k$ 上の超立方体上で、$L_2([t,T])$ における完全正規直交系を用いた一般化された多重フーリエ級数に展開する。
• 級数の係数は、重複度 $k$ に依存しない明示的な公式により計算され、体系的な近似が可能になる。
• 展開により、確率積分は標準正規確率変数の積の級数に変換され、カーネルのフーリエ級数から得られる係数が関与する。
• 収束は、近似誤差の4次のモーメント推定と $L_2$-ノルム収束のためのパーソバルの等式を用いて分析される。
• 証明は、連続関数の単調収束に関するディニの定理と多重級数の性質を活用し、ほとんど確実収束を確立する。
• 解析は、多重フーリエ–ルジャンドルおよび多重三角関数フーリエ級数に特に適用され、その収束行動について詳細に扱われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された多重フーリエ級数を用いた反復伊藤確率積分の展開は、任意の重複度 $k$ に対して確率1で収束するか？
• RQ2 反復伊藤積分の文脈において、多重フーリエ–ルジャンドルおよび多重三角関数フーリエ級数の収束特性はどのように比較できるか？
• RQ3 近似誤差の4次のモーメントを、ほとんど確実収束を保証する形で有界化できるか？
• RQ4 パーソバルの等式と係数級数の構造は、ほとんど確実収束を確立するために果たす役割は何か？
• RQ5 定理の条件のもとで、領域 $[t,T]^k$ 全体にわたる収束は一様か？

主な発見

• 本稿は、任意の重複度 $k$ に対する反復伊藤確率積分の展開が、一般化された多重フーリエ級数を用いて確率1で収束することを証明する。
• 収束は、多重フーリエ–ルジャンドルおよび多重三角関数フーリエ級数の両方に対して成立し、両ケースについて明示的な証明が与えられる。
• 証明は、近似誤差の4次のモーメントの推定と、$L_2$-ノルム収束のためのパーソバルの等式の適用に依存する。
• 係数の部分和の二乗の和の極限が、全級数の和に一致することから、誤差の $L_2$-ノルムの収束が確認される。
• ディニの定理の使用により、係数級数の部分和の一様収束が保証され、これによりほとんど確実収束の結果が裏付けられる。
• 従来の平均二乗収束および2n次のモーメント収束に関する結果が一般化され、より強い収束モードが確立される。