[論文レビュー] The Provability of Consistency

Sergei Artëmov|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2019

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 18被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、標準的な算術的論式 ${\sf Con}_{\sf PA}$ を避けることで、ゲーデルの第二不完全性定理を回避し、ペアノ算術（PA）自身の中でPAの無矛盾性を形式的証明する。代わりに、各有限なPAの導出について、それが矛盾を導かないことを検証する原始再帰的選択関数を用いて、無矛盾性をスキームとして形式化する。これにより、無矛盾性が単一の論式として内省されない限り、PA内で証明可能であることが示される。

ABSTRACT

We offer a mathematical proof of consistency for Peano Arithmetic PA formalizable in PA. This result is compatible with Goedel's Second Incompleteness Theorem since our consistency proof does not rely on the representation of consistency as a specific arithmetical formula. Our findings show that formal theories can finitely formalize proofs of certain properties presented as schemes without reducing the presentation of those properties to a single formula. We outline a theory of proving schemes in PA.

研究の動機と目的

• ゲーデルの第二不完全性定理が示唆するように、PAは自身の無矛盾性を証明できないという広く信じられている信念に挑戦すること。
• 無矛盾性が単一の算術的論式に還元されない限り、ゲーデルの定理の「不可能性」の解釈は正当ではないことを示すこと。
• 特にスキームとして表現された性質の証明のような、内容的な数学的推論をPA内に形式化し、PAの証明理論的範囲を拡張すること。
• スキームを正当な証明形式として認めることで、ヒルベルトのプログラムを裏付けること。

提案手法

• ${\sf Con}_{\sf PA}$ という単一の論式としてではなく、スキームとして無矛盾性を形式化する。つまり、任意の有限なPAの導出 $S$ について、$S$ は $\bot$ を含まない。
• 各論理式 $\varphi$ の導出 $S$ に対して、算術的に定義可能な不変量 ${\cal I}_S(\varphi)$ を導入し、$S$ に属するすべての $\varphi$ について ${\cal I}_S(\varphi)$ が成り立つが、${\cal I}_S(\bot)$ は成り立たないようにする。
• 各標準的数値 $n$ に対して、$t(n)$ が $\neg n:\bot$ の証明を返す原始再帰的選択関数 $t(x)$ を用いる。これにより、任意の標準的 $n$ が矛盾を証明しないことが検証される。
• すべての前提 $\neg 0:\bot, \neg 1:\bot, \neg 2:\bot, \ldots$ が、全称閉包 $\forall x\, \neg x:\bot$ を証明しないまま、有限なスキームによってPA内で証明可能であることを示す。
• ゲーデル番号化と選択関数を用いて、PA内で完全帰納法スキームの証明を形式化し、このようなスキームに基づく証明が形式化可能であることを示す。
• ${\sf Con}_{\sf PA}$ を無矛盾性の原則として拒否する。これは、すべての無矛盾性証明が単一の論式として内省されなければならないと仮定するものであり、代わりにスキームの証明を正当な形式的証明手法として提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な無矛盾性の内省、すなわち ${\sf Con}_{\sf PA}$ を避ける場合、PAは自身の無矛盾性を形式的に証明できるか？
• RQ2 単一の論式に還元できない、例えばスキームの証明のような内容的な数学的証明を、PA内で形式化することは可能か？
• RQ3 ゲーデルの第二不完全性定理は、実際にはPAの無矛盾性証明を真正に妨げているのか、それとも表現に関する人工的な制限によるものなのか？
• RQ4 形式的証明可能性の概念を文にとどまらず、スキームまで拡張することは可能か。その証明理論的帰結は何か？
• RQ5 選択関数の使用により、PA内で無限個の命題の集合をどのように有限に形式化できるか、その範囲はどの程度か？

主な発見

• PAは、${\sf Con}_{\sf PA}$ という単一の論式としてではなく、スキームとして無矛盾性を表現することで、自身の無矛盾性を形式的に証明可能であり、これによりゲーデルの第二不完全性定理を回避できる。
• 無矛盾性の証明は、原始再帰的選択関数 $t(x)$ を用いてPA内で形式化可能であり、各標準的 $n$ に対して $t(n)$ が $\neg n:\bot$ の証明を生成する。これにより、任意の標準的導出が矛盾を導かないことが保証される。
• 完全帰納法の性質はPAにおいてスキームとして形式化され、その証明もPA内で形式化可能である。これにより、スキームに基づく証明が体系内での正当な証明形式であることが示される。
• 不変量 ${\cal I}_S(\varphi)$ は、導出 $S$ に属するすべての論理式 $\varphi$ について成り立つが、$\bot$ については成り立たないように構成されており、$S$ が矛盾を導く導出でないことを証明する。
• 本論文は、${\sf Con}_{\sf PA}$ を無矛盾性の原則として否定し、すべての無矛盾性証明が単一の論式として内省されなければならないという前提を覆す。形式的証明可能性にあたっては、このような内省は必要ではない。
• スキームの証明を形式的証明として認めることで、PAにおける形式的証明可能性の範囲が拡張され、外部の無矛盾性仮定に依存せずに、$\forall x[t(x) = 0]$ のような性質の自己完備的検証が可能になる。