[論文レビュー] The pseudo-effective cone of a compact Kähler manifold and varieties of negative Kodaira dimension

Sébastien Boucksom, Jean-Pierre Demailly+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 63

ひとこと要約

本稿は、コンpact Kähler多様体の擬効果的コーンと可動的曲線のコーンの間に双対性を確立し、線分束が擬効果的であることと、被覆族に属するすべての曲線における次数が非負であることの必要十分条件を示している。主な結果は、未解決のuniruled予想の部分(A)を解決するものであり、正則バンドルが擬効果的でない場合、多様体はuniruledである。4次元多様体への応用では、特定の数値的条件の下で非負のKodaira次元が得られる。

ABSTRACT

We prove that a holomorphic line bundle on a projective manifold is pseudo-effective if and only if its degree on any member of a covering family of curves is non-negative. This is a consequence of a duality statement between the cone of pseudo-effective divisors and the cone of ``movable curves'', which is obtained from a general theory of movable intersections and approximate Zariski decomposition for closed positive (1,1)-currents. As a corollary, a projective manifold has a pseudo-effective canonical bundle if and only if it is is not uniruled. We also prove that a 4-fold with a canonical bundle which is pseudo-effective and of numerical class zero in restriction to curves of a covering family, has non negative Kodaira dimension.

研究の動機と目的

• コンパクトKähler多様体上の除数の擬効果的コーンと可動的曲線のコーンの間の双対性を確立すること。
• 線分束が擬効果的であることと、被覆族に属するすべての曲線における次数が非負であることの必要十分条件を証明すること。
• 未解決のuniruled予想の部分(A)を解決すること：正則バンドルが擬効果的でない場合、多様体はuniruledであること。
• 4次元多様体に対する部分的な結果を証明すること：正則バンドルが擬効果的であり、被覆族の曲線と交わって0である場合、Kodaira次元は非負であること。
• 閉じた正の(1,1)-現在のための移行的Zariski分解と近似Zariski分解の理論を、閉じた正の(1,1)-現在に拡張すること。

提案手法

• 閉じた正の(1,1)-現在のための近似Zariski分解を用いて、擬効果的コーンの幾何を分析すること。
• R-除数の体積理論を応用し、大きくない除数と擬効果的コーンの境界にある除数を区別すること。
• 切断関数と曲率推定を用いて、超曲面Hに質量を集約する現在の族ωεを構成すること。
• 現在のの弱収束と補集合定理を用いて、極限における除数的成分を抽出すること。
• 変形理論と普遍変形空間を用いて、ハイパーカイラー多様体上の体積挙動を分析すること。
• ωnとωn−1 ∧ c1(A)を含む積分推定を用いて、Vol(T − c[H]) ≥ (1−δ)∫ωnという重要な不等式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的多様体上の正則線分束が、被覆族に属するすべての曲線における次数が非負であることと、擬効果的であることの必要十分条件であるか？
• RQ2 正則バンドルが擬効果的でないことは、多様体がuniruledであることの意味をもつのか？
• RQ3 4次元において、正則バンドルが擬効果的であり、被覆族の曲線と交わって0であるという条件から、Kodaira次元が非負であると結論づけられるか？
• RQ4 (1,1)-現在の体積は、その点ごとの質量が1未満の部分の積分によって下から抑えられるか？
• RQ5 コンパクトKähler多様体の文脈において、擬効果的コーンと可動的曲線コーンの間の双対性関係は何か？

主な発見

• 射影的多様体X上の線分束Lは、被覆族に属するすべての既約曲線CについてL·C ≥ 0であることと、擬効果的であることの必要十分条件である。
• 正則バンドルKXが擬効果的でない場合、Xはuniruledであり、有理曲線が多様体を被覆する。
• 滑らかな射影的4次元多様体について、KXが擬効果的であり、被覆族(Ct)についてKX·Ct = 0であるならば、κ(X) ≥ 0である。
• (1,1)-現在Tの体積は、Vol(T − c[H]) ≥ ∫X ωn − (n+1)²/4 ∫X ωn−1 ∧ c1(A)を満たし、δの特定の選択のもとでc ≥ 1である。
• コンパクトハイパーカイラー多様体では、擬効果的コーンと可動的現在のコーンが双対的であり、Vol(α) ≥ ∫X(α,≤1) αnが成り立つ。
• R-除数について、擬効果的コーンと可動的曲線コーンの双対性は成り立ち、ピカール数h1,1の射影的多様体の極限へと拡張可能である。