[論文レビュー] The q-fractional analogue for Gronwall-type inequality

Thabet Abdeljawad, Jehad Alzabut|arXiv (Cornell University)|May 9, 2013

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$0 < \alpha \leq 1$ の順序をもつCaputo型q分数マーチャル初期値問題を用いて、q-Mittag-Leffler関数およびq指数関数を含む境界を導出する、Gronwallの不等式のq分数版を確立する。主な貢献は、初期条件の摂動に対して解の安定性を保証するq-Gronwall補題の導出であり、時刻スケール上のq分数マーチャル微分方程式への応用を含む。

ABSTRACT

In this article, we utilize \emph{q}--fractional Caputo initial value problems of order $0

研究の動機と目的

• q分数マーチャル微分方程式における古典的Gronwall型不等式のqアナロジーを構築すること。
• 文献においてq分数バージョンの積分不等式、特にCaputo型q分数初期値問題に関して不足している点を解決すること。
• 初期条件の小さな摂動に対してq分数マーチャル微分方程式の解の安定性に関する結果を確立すること。
• q-Mittag-Leffler関数およびq指数関数がq分数マーチャル積分不等式の解の境界にどのように現れるかを導入・分析すること。

提案手法

• 時刻スケール $\mathbb{T}_q$ 上の初期値問題をモデル化するために、$0 < \alpha \leq 1$ の順序のq分数マーチャルCaputo微分を用いる。
• 左q分数積分作用素 ${}_q\nabla_a^{-\alpha}$ を適用して、微分不等式を積分形に変換する。
• 反復q積分を用いて定義される作用素 $\Omega_\mu$ を導入し、解の境界の逐次近似を生成する。
• qガンマ関数 $\Gamma_q(\alpha)$ およびq階乗関数を用いて、q-Mittag-Leffler関数およびq指数関数を定義する。
• 反復 $\Omega_\mu^k 1$ の固定点構造を用いて、解の列の収束性および有界性を導出する。
• 初期値問題の定式化を簡略化するために、恒等式 ${}_q\nabla^{-\alpha}_a {}_qC_a^\alpha f(t) = f(t) - f(a)$ ($0 < \alpha \leq 1$) を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Caputo型q分数初期値問題に対して、Gronwallの不等式のq分数アナロジーを導出可能か？
• RQ2 q-Mittag-Leffler関数およびq指数関数は、q分数マーチャル積分不等式の解の境界にどのように現れるか？
• RQ3 q分数設定において、反復境界 $\sum_{k=0}^\infty \Omega_\mu^k 1$ の収束を保証する条件は何か？
• RQ4 導出された不等式は、q分数系における初期条件への連続的依存性をどの程度保証するか？
• RQ5 q-Gronwall不等式は $\alpha = 1$ のとき、どのように古典的q-Gronwall補題に還元されるか？

主な発見

• $0 < \alpha \leq 1$ に対して、q分数マーチャルGronwall型不等式が確立され、$v(t) \leq v(a) \sum_{k=0}^\infty \Omega_\mu^k 1$ が、$v(t) \leq v(a) + {}_q\nabla_a^{-\alpha} v(t) \mu(t)$ の条件下で成立することが証明された。
• $\alpha = 1$ の場合、不等式は $v(t) \leq v(a) e_q(t,a)$ に簡略化され、ここで $e_q(t,a)$ はナブラq指数関数であり、古典的q-Gronwall補題が回復される。
• $\mu(t) < \frac{1}{t^\alpha (1-q)^\alpha}$ の条件下で、級数 $\sum_{k=0}^\infty \Omega_\mu^k 1$ の収束が保証され、解の境界の有界性が確保される。
• q分数初期値問題の解は初期条件に対して連続的に依存する： $\gamma_n \to \gamma$ ならば、$|\varphi(t) - \phi_n(t)| \to 0$ が $\Lambda_a$ 上で一様に成り立つ。
• 初期データの摂動に対する解の安定性を定量化する境界 $|\varphi(t) - \psi(t)| \leq |\gamma - \beta| \sum_{i=0}^\infty {}_q\Omega_L^i 1 = |\gamma - \beta| {}_q\Omega_\alpha(L, t-a)$ が得られた。
• 作用素 $\Omega_\mu$ は反復q積分を用いて定義され、$\Omega_\mu^k 1(t) = \int_a^t \cdots \int_a^{t_{k-1}} \mu(t_1) \cdots \mu(t_k) \nabla_q t_k \cdots \nabla_q t_1$ を満たし、解の境界の再帰的推定を可能にする。