[論文レビュー] The $q$-Onsager algebra and the positive part of $U_q({\widehat{\mathfrak{sl}}}_2)$

Paul Terwilliger|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、量子アフィン代数 $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$ の正部分 $U_q^+$ と $q$-Onsager代数 $\mathcal{O}_q$ の間に深い代数的関係を確立する。$\mathcal{O}_q$ に自然なフィルトレーションを定義したとき、その関連する次数代数は $U_q^+$ に同型であり、$q$-Weylおよび $q$-Serre関係を満たす4生成子を持つ新しい代数 $\square_q$ を導入する。この $\square_q$ は2つの $U_q^+$ のテンソル積として分解可能であり、$\mathcal{O}_q$ への単射準同型を備える。主な貢献は、これら2つの重要な量子代数を結ぶ統一的な代数的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

The positive part $U^+_q$ of $U_q({\widehat{\mathfrak{sl}}}_2)$ has a presentation by two generators $X,Y$ that satisfy the $q$-Serre relations. The $q$-Onsager algebra $\mathcal O_q$ has a presentation by two generators $A,B$ that satisfy the $q$-Dolan/Grady relations. We give two results that describe how $U^+_q$ and $\mathcal O_q$ are related. First, we consider the filtration of $\mathcal O_q$ whose $n$th component is spanned by the products of at most $n$ generators. We show that the associated graded algebra is isomorphic to $U^+_q$. Second, we introduce an algebra $\square_q$ and show how it is related to both $U^+_q$ and $\mathcal O_q$. The algebra $\square_q$ is defined by generators and relations. The generators are $\lbrace x_i brace_{i \in \mathbb Z_4}$ where $\mathbb Z_4$ is the cyclic group of order 4. For $i \in \mathbb Z_4$ the generators $x_i, x_{i+1}$ satisfy a $q$-Weyl relation, and $x_i,x_{i+2}$ satisfy the $q$-Serre relations. We show that $\square_q$ is related to $U^+_q$ in the following way. Let $ \square^{ m even}_q$ (resp. $ \square^{ m odd}_q$) denote the subalgebra of $ \square_q$ generated by $x_0, x_2$ (resp. $x_1, x_3$). We show that (i) there exists an algebra isomorphism $U^+_q o \square^{ m even}_q$ that sends $X\mapsto x_0$ and $Y\mapsto x_2$; (ii) there exists an algebra isomorphism $U^+_q o \square^{ m odd}_q$ that sends $X\mapsto x_1$ and $Y\mapsto x_3$; (iii) the multiplication map $\square^{ m even}_q \otimes \square^{ m odd}_q o \square_q$, $u \otimes v \mapsto uv$ is an isomorphism of vector spaces. We show that $\square_q$ is related to $\mathcal O_q$ in the following way. For nonzero scalars $a,b$ there exists an injective algebra homomorphism $ \mathcal O_q o \square_q$ that sends $A \mapsto a x_0+ a^{-1} x_1$ and $B \mapsto b x_2+ b^{-1} x_3$.

研究の動機と目的

• 量子群 $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$ の正部分 $U_q^+$ と $\mathcal{O}_q$-Onsager代数との間の代数的関係を明確化すること。
• $q$-Serre関係と $q$-Dolan/Grady関係の表面的な類似性を解消するために、正確な代数的同型と埋め込みを構成すること。
• $U_q^+$ と $\mathcal{O}_q$ の構造的特徴を統合する4生成子による表現を持つ新しい代数 $\square_q$ を導入すること。
• 三重対角代数と量子群が表現論および可積分系においてどのように作用し合うかを理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 生成子 $A,B$ における語長による $\mathcal{O}_q$ のフィルトレーションを定義し、関連する次数代数 $\overline{\mathcal{O}_q}$ を計算する。
• 隣接する添え字に対して $q$-Weyl関係、反対の添え字に対して $q$-Serre関係を満たす生成子 $\{x_i\}_{i \in \mathbb{Z}_4}$ を持つ代数 $\square_q$ を構成する。
• $\square_q^{\text{even}}$ および $\square_q^{\text{odd}}$ の偶数・奇数部分代数が、それぞれ $X \mapsto x_0, Y \mapsto x_2$ および $X \mapsto x_1, Y \mapsto x_3$ による写像で $U_q^+$ に同型であることを証明する。
• $\square_q^{\text{even}} \otimes \square_q^{\text{odd}} \to \square_q$ の乗法写像がベクトル空間同型であることを示し、テンソル積分解を示唆する。
• $\mathcal{O}_q \to \square_q$ の単射代数準同型を構成し、$A \mapsto a x_0 + a^{-1} x_1$, $B \mapsto b x_2 + b^{-1} x_3$（非ゼロスカラー $a,b$）を定める。
• $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$ の既知の自己同型を用いて、準同型 $\mathcal{O}_q \to \square_q$ の単射性を検証し、$\square_q$ と量子群との関係を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $A,B$ における語長による自然なフィルトレーションを $\mathcal{O}_q$ に定義したとき、その関連次数代数が $U_q^+$ に同型になるか？
• RQ2 $U_q^+$ を部分代数として同時に実現し、$\mathcal{O}_q$ を埋め込めるような新しい代数を構成できるか？
• RQ3 $q$-Weylおよび $q$-Serre関係が、巡回的4生成子系に拡張されたとき、どのように相互作用するか？
• RQ4 $\square_q$ の偶数部および奇数部からの乗法写像が、$\square_q$ にベクトル空間同型を与えるか？
• RQ5 $\mathcal{O}_q$ が $q$-Dolan/Grady関係を尊重する、$\square_q$ への標準的な埋め込みが存在するか？

主な発見

• $A,B$ における語長によるフィルトレーションの下で、$\mathcal{O}_q$ の関連次数代数は $U_q^+$ に同型であり、両代数の直接的な代数的関係を確立する。
• 生成子 $x_0,x_1,x_2,x_3$ を持つ代数 $\square_q$ は、$\mathbb{Z}_4$ で添え字付けられ、隣接するペアに対して $q$-Weyl関係、反対のペアに対して $q$-Serre関係を満たす。
• $x_0,x_2$ で生成される部分代数 $\square_q^{\text{even}}$ は、写像 $X \mapsto x_0$, $Y \mapsto x_2$ によって $U_q^+$ に同型であり、同様に $\square_q^{\text{odd}}$ は $X \mapsto x_1$, $Y \mapsto x_3$ によって同型である。
• $\square_q^{\text{even}} \otimes \square_q^{\text{odd}} \to \square_q$ の乗法写像はベクトル空間同型であり、$\square_q$ が2つの $U_q^+$ のテンソル積としてベクトル空間として同型であることを示唆する。
• 任意の非ゼロスカラー $a,b$ に対して、$A \mapsto a x_0 + a^{-1} x_1$, $B \mapsto b x_2 + b^{-1} x_3$ を定める、$\mathcal{O}_q \to \square_q$ の単射代数準同型が存在し、$\mathcal{O}_q$ が $\square_q$ に埋め込まれる。
• 本構成は任意の体上で $q \neq 0$ かつ $q^2 \neq 1$ の場合に有効であり、$q$ が単位根であるか、体の特性がゼロでなくても、$\mathcal{O}_q \to \square_q$ の単射性が証明されている。