[論文レビュー] The Q-Picard group of the moduli space of curves in positive characteristic

Atsushi Moriwaki|ArXiv.org|Dec 4, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、正の特性を持つ代数閉体上での genus g の n 点付き安定曲線のモジュライ空間の ℚ-Picard 群が、tautological classes によって生成されることを証明している—具体的には Hodge class λ、ψ-classes ψ₁,…,ψₙ、および境界クラス δₜ である。証明は modulo p の還元と、Teichmüller レベル構造を用いた étale cohomology と singular cohomology の比較により、2次元におけるサイクル写像が étale cohomology に全単射であることを確立する。

ABSTRACT

In this note, we prove that the Q-Picard group of the moduli space of n-pointed stable curves of genus g over an algebraically closed field is generated by the tautological classes. We also prove that the cycle map to the 2nd etale cohomology group is bijective.

研究の動機と目的

• 特性 0 における曲線のモジュライ空間の ℚ-Picard 群に関する Harer の結果を正の特性へ拡張すること。
• 任意の代数閉体上でのモジュライ空間 M̄_{g,n} の ℚ-Picard 群が tautological classes によって生成されることを確立すること。
• ℚ-Picard 群から第二の étale cohomology 群 H²_{ét}(M̄_{g,n}, ℚℓ) へのサイクル写像の全単射性を証明すること。
• p で割った還元と Teichmüller レベル構造を用いて、特性 0 と正の特性における étale および singular cohomology を比較すること。

提案手法

• 正の特性の体上のモジュライ空間の幾何を、それらの複素数体上の類似物と関連付けるために、p で割った還元を用いる。
• Teichmüller レベル構造を用いた滑らかなガロア被覆を介して、étale cohomology 群 H²_{ét}(M̄_{g,n}(k), ℚℓ) と singular cohomology 群 H²(M̄_{g,n}(ℂ), ℚ) を比較する。
• Boggi-Pikaart の結果により、m ≥ 3 のレベル構造を持つモジュライ空間が単連結であることを利用し、サイクル写像の単射性を保証する。
• 離散付値環上のモデルの特異ファイバーにおける交点理論を制御するために、Zariski の補題を積分的スキームに適用する。
• 射影的代数多様体上で数的同値と代数的同値が有理数的条件下で一致することを活用し、NS(X)⊗ℚ を NSν(X)⊗ℚ と同一視できるようにする。
• サイクル写像 Pic(M̄_{g,n})⊗ℚℓ → H²_{ét}(M̄_{g,n}, ℚℓ) 及びその次元比較と単射性による全単射性の利用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性における genus g の n 点付き安定曲線のモジュライ空間の ℚ-Picard 群は、依然として tautological classes によって生成されるか？
• RQ2 正の特性の体上での ℚ-Picard 群から第二の étale cohomology 群へのサイクル写像は全単射か？
• RQ3 p で割った還元技術を用いて、特性 0 における ℚ-Picard 群の生成に関する結果を正の特性へ拡張可能か？
• RQ4 正の特性におけるモジュライ空間の étale cohomology は、その複素解析的類似物とどのように関係するか？
• RQ5 Teichmüller レベル構造は、異なる特性間でのコホモロジー理論の比較において、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 任意の代数閉体 k 上での M̄_{g,n} の ℚ-Picard 群は、tautological classes λ、ψ₁,…,ψₙ、および t ∈ T に対する δₜ によって生成される。
• 任意の k において可逆な素数 ℓ に対して、サイクル写像 Pic(M̄_{g,n})⊗ℚℓ → H²_{ét}(M̄_{g,n}, ℚℓ) は全単射である。
• étale cohomology 群 H²_{ét}(M̄_{g,n}(k), ℚℓ) の次元は、singular cohomology 群 H²(M̄_{g,n}(ℂ), ℚ) の次元によって上から抑えられる。
• m ≥ 3 のレベル構造を持つモジュライ空間の単連結性から、サイクル写像の単射性が導かれる。
• コホモロジー比較を通じて、tautological classes が ℚ 上で線形独立であることが示される。
• 結果は基底体の特性にかかわらず成り立つ。これは Harer の特性 0 における結果を正の特性へ拡張するものである。