[論文レビュー] The QCD beta-function from global solutions to Dyson-Schwinger equations

Guillaume van Baalen, Dirk Kreimer+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、非摂動的に未切断Dyson-Schwinger方程式のグローバル解を用いてQCDのβ関数を導出し、問題をグルーオンの異常次元に関する非線形常微分方程式（ODE）に還元する。未知関数P(x)に関する弱い仮定の下で、漸近的自由性を証明し、解に対して普遍的なべき則の境界を確立し、すべての解がすべての摂動的順序で一致し、x→0でいかなるべき則よりも速く減衰することを示している。

ABSTRACT

We study quantum chromodynamics from the viewpoint of untruncated Dyson-Schwinger equations turned to an ordinary differential equation for the gluon anomalous dimension. This nonlinear equation is parameterized by a function P(x) which is unknown beyond perturbation theory. Still, very mild assumptions on P(x) lead to stringent restrictions for possible solutions to Dyson-Schwinger equations. We establish that the theory must have asymptotic freedom beyond perturbation theory and also investigate the low energy regime and the possibility for a mass gap in the asymptotically free theory.

研究の動機と目的

• . 未切断Dyson-Schwinger方程式を用いて、QCDのβ関数を摂動論的でない方法で導出すること。
• . 全ての式の系をグルーオンの異常次元に関する非線形常微分方程式（ODE）に還元すること。
• . 未知関数P(x)に関する最小限の仮定の下で、非摂動的構造がグルーオンの異常次元に与える影響を調査すること。
• . QCDにおける摂動論を超えた漸近的自由性の存在を確立すること。
• . 低エネルギー領域の解析と、漸近的自由な理論における質量ギャップの可能性を検討すること。

提案手法

• . QCDにバックグラウンド場法を適用し、β関数に関連する不変電荷Cを特定する。
• . 組み合わせ的Dyson-Schwinger方程式とHochschildコhomologyを用いて、ホップ代数の構造をアーベル部分群と正規部分群に分解する。
• . システムを、未知関数P(x)でパrameter化されたグルーオンの異常次元γ1(x)に関する非線形ODEに還元する。
• . γk(x)の再帰的構造と、ゲージ理論に特徴的な(1 − x∂x)作用素を含む微分方程式を用いる。
• . 積分表現と剰余写像R[γ2](x)を用いて、収束性と漸近的挙動を制御する。
• . 比較定理と積分核K[γ1, γ2](x0, x)を用いて、解同士の差の境界をつき、普遍的な漸近的挙動を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . 未知関数P(x)の正確な形が分からなくても、QCDのβ関数が摂動論を超えて漸近的自由性を示すか？
• RQ2 . Dyson-Schwinger方程式の構造が、P(x)に関する最小限の仮定の下でグルーオンの異常次元に与える制約は何か？
• RQ3 . 未切断Dyson-Schwinger方程式のグローバル解が、発散級数であるにもかかわらず、すべての摂動的順序で一致することが示せるか？
• RQ4 . ゲージ結合定数x → 0のとき、解はどのように振る舞い、どのような普遍的なスケーリング則が現れるか？
• RQ5 . 任意の2つの解の差がx → 0で普遍的な減衰率を示すか。その減衰率は定量的に評価可能か？

主な発見

• . P(x)に関する弱い仮定の下で、理論は摂動論を超えて漸近的自由性を示す。P(x)の正確な形に依存しない。
• . γ1(x)に関する非線形ODEのすべての解は、発散級数解とすべての有限の摂動的順序で一致する。
• . 任意の2つの解の差は、x → 0でいかなるべき則よりも速く減衰し、具体的にはe−C/x（C > 0）の形で減衰する。
• . 普遍的なべき則の境界が確立される：s < 1ではγ1(x) ≤ Cb x、s = 1ではγ1(x) ≤ Cb x |ln(x)|、s > 1ではγ1(x) ≤ Cb x^{1/s}。
• . P(x)に関する弱い仮定の下で、すべての解に対して区間[0, x0]上でγ1(x) ≤ Cx（C > 0）で有界であることが保証される。
• . 積分核K[γ1, γ2](x0, x)はx → 0でいかなるべき則よりも速く減衰するため、解とその切断級数の間で強い収束結果が得られる。