[論文レビュー] The quadratic rough Heston model and the joint S&P 500/VIX smile calibration problem

Jim Gatheral, Paul Jusselin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 33被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、連続的パスを持つ確率的ボラティリティモデルとして、四次式の粗いHestonモデルを導入する。このモデルは、S&P 500（SPX）およびVIXオプションのインプライドボラティリティスメールを同時に良好にキャリブレーションできる。粗いボラティリティのダイナミクスと価格フィードバック（Zumbach）効果を組み合わせることで、長年のボラティリティモデリングの課題を解決し、連続的SPXパス下で同時キャリブレーションが不可能であるとするジュリエン・ギヨンの予想に対して反例を提供する。

ABSTRACT

Fitting simultaneously SPX and VIX smiles is known to be one of the most challenging problems in volatility modeling. A long-standing conjecture due to Julien Guyon is that it may not be possible to calibrate jointly these two quantities with a model with continuous sample-paths. We present the quadratic rough Heston model as a counterexample to this conjecture. The key idea is the combination of rough volatility together with a price-feedback (Zumbach) effect.

研究の動機と目的

• 連続的パスモデルにおいて、SPXおよびVIXオプションのインプライドボラティリティスメールを同時にキャリブレーションするという長年の課題を解決すること。
• 連続的SPX価格パス下で同時キャリブレーションが不可能であるとするジュリエン・ギヨンの予想に挑戦すること。
• 粗いボラティリティと価格フィードバック効果の組み合わせが、正確な同時キャリブレーションを可能にすることを示すこと。
• SPXおよびVIXオプションの主要な市場的特徴を再現できる、簡潔で取り扱いやすいモデルを提供すること。
• VIXおよびSPXオプションの価格設定において、ジャンプ・ディフュージョンやモデルフリー手法の実用的代替案を提供すること。

提案手法

• 四次式の粗いHestonモデルを提案。粗いHestonモデルに価格フィードバック（Zumbach）効果を組み込んだ拡張。
• ハーストパラメータ α ≈ 0.51 の分数 Browm運動によって駆動される確率的ボラティリティ過程を導入。
• 非マルコフ型積分構造を介して過去リターンからのフィードバックを組み込んだ、変更されたボラティリティ過程 Zt を導入。
• キャリブレーションを簡素化するため、初期関数 θ0(t) = Z0 / (λΓ(1−α)t−α) にパラメトリックな形を採用。
• SPXおよびVIXオプションのモデルインプライドと市場の中間インプライドボラティリティの差異を最小化するための最小二乗法による目的関数を用いて、モデルパラメータをキャリブレーション。
• モンテカルロシミュレーションを実施し、モデルインプライドボラティリティを計算。6つのパラメータ α, λ, a, b, c, Z0 をキャリブレーション。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的パスモデルが、ギヨンの予想に反してSPXおよびVIXオプションのスメールを同時にキャリブレーション可能か？
• RQ2 粗いボラティリティと価格フィードバック（Zumbach効果）の組み合わせが、標準的な粗いHestonモデルに比べて、より優れた同時キャリブレーションを可能にするか？
• RQ3 本モデルに対して、簡潔でマルコフ的還元可能な無限次元表現を構築可能か？
• RQ4 本モデルは、SPXスメールの左端尾部および短期満期のVIXスメール構造をどれほど正確に再現できるか？
• RQ5 本モデルは、特に短期満期のVIXオプションにおいて、市場のBid-Askスプレッド内に適合可能か？

主な発見

• 2017年5月19日におけるモデルは、パラメータ α = 0.51, λ = 1.2, a = 0.384, b = 0.095, c = 0.0025, Z0 = 0.1 を用いて、SPXおよびVIXインプライドボラティリティスメールを良好にフィットした。
• モデルが生成するVIXスメールは、観察された市場のBid-Askスプレッド内に系統的に収まり、高い市場整合性を示した。
• SPXボラティリティ表面、特に極端な左端尾部も、モデルによって良好に再現された。
• 市場の下落時にVIXが急騰する現象を、Zumbach効果に従って、ボラティリティが下落後に上昇する割合が上昇するという点で、モデルが適切に捉えた。
• 無限次元のマルコフ的表現により、SPXおよびVIXのヨーロピアンオプションの価格は、時間、S、および初期関数 θt の関数として計算可能となった。
• 最適でないキャリブレーション手法を用い、パラメータも6つに限られていたが、高精度な同時キャリブレーションが達成された。これは、より高度なキャリブレーション技術を用いればさらなる改善が可能である可能性を示唆している。