[論文レビュー] The quantum algorithm of Kieu does not solve the Hilbert's tenth problem

Boris Tsirelson|ArXiv.org|Nov 1, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、T. Kieuが提唱した量子断熱的アルゴリズムが、チューリング計算不能クラスに属する関数を計算できると主張する主張を反証する。このアルゴリズムは、無限大に近づく最小化子に対して、初期状態と真の最小値状態との間で指数関数的に減衰する行列要素を有するため、有界でない整数関数のグローバル・ミニマを特定できない。その結果、断熱的遷移は大きな最小化子に対して効果を示さない。

ABSTRACT

Recently T. Kieu (arXiv:quant-ph/0110136) claimed a quantum algorithm computing some functions beyond the Church-Turing class. He notes that "it is in fact widely believed that quantum computation cannot offer anything new about computability" and claims the opposite. However, his quantum algorithm does not work, which is the point of my short note. I still believe that quantum computation leads to new complexity but retains the old computability.

研究の動機と目的

• T. Kieuが、量子計算が古典的計算不能性を超えることができると主張する、ヒルベルトの10番目の問題を解けるという主張に反論すること。
• Kieuが非負整数上での多項式のグローバル・ミニマを求めるために提唱した断熱的量子アルゴリズムを分析すること。
• 最小化子が大きい場合、無限次元ヒルベルト空間を有しても、正しい基底状態に収束しないことを示すこと。
• 量子計算が古典的計算可能性（チューリング＝チャーチの thesis）を保ちつつ、計算複雑性を向上させ得ることを明確にすること。

提案手法

• 初期状態 |gI⟩ から始まり、ハミルトニアン 𝒫(t) = (1−t/T)HI + (t/T)HP を用いた時間に依存する断熱的遷移プロトコルを分析する。このプロトコルは、初期ハミルトニアン HI から目的のハミルトニアン HP の基底状態 |g⟩ へと進化する。
• 実際の遷移状態 |g(t)⟩ を、HI のみに依存する参照的遷移状態 |g₀(t)⟩ と比較する。|g₀(t)⟩ は位相を除き一定のままである。
• シュレーディンガー方程式と内積推定を用いて、|g(t)⟩ と |g₀(t)⟩ の距離に上限を導出する。
• 両状態の差のノルムが T に比例して増大することを示し、その上限は T⋅‖HP|gI⟩‖ で与えられる。
• ‖HP|gI⟩‖ = |⟨xmin|gI⟩| として評価され、xmin → ∞ のときこの値は 0 に収束する。これは、真の最小値状態 |xmin⟩ に収束しないことを示唆する。
• 結論として、xmin が大きい場合には |g(T)⟩ は |gI⟩ に近く、|xmin⟩ には近づかないため、グローバル・ミニマを特定できない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の断熱時間 T を持つ量子断熱的アルゴリズムが、非負整数の無限領域上の関数のグローバル・ミニマを特定できるか？
• RQ2 Kieuのアルゴリズムにおける無限次元ヒルベルト空間が、任意に大きな最小化子を効果的に探索可能か？
• RQ3 大きな xmin に対して、アルゴリズムの成功確率が行列要素 ⟨xmin|gI⟩ にどのように依存するか？
• RQ4 最小化子が未知で大きい場合、なぜ断熱的遷移がグローバル・ミニマに対応する基底状態に到達できないのか？
• RQ5 Kieuの主張とは異なり、このアルゴリズムが真にチューリング計算不能クラスを超えるのか？

主な発見

• 最小化子 xmin が大きい場合、断熱的遷移はグローバル・ミニマに対応する基底状態 |xmin⟩ に到達しない。
• 進化状態 |g(T)⟩ と初期状態 |gI⟩ の距離は、T⋅|⟨xmin|gI⟩| で上限が与えられ、xmin → ∞ のときこの値は 0 に収束する。
• |⟨xmin|gI⟩| → 0 であるため、最終状態は |gI⟩ に近く、|xmin⟩ には近づかない。これは最小値の特定に失敗していることを示している。
• アルゴリズムの性能は xmin が大きくなるにつれて劣化し、関数の構造に依存しない有限時間内での一様な性能という主張と矛盾する。
• 失敗の原因は断熱条件の不満たしではなく、初期ハミルトニアン HI が遠く離れた基底状態 |xmin⟩ と有効に結合できないことにある。
• 結論として、このアルゴリズムはヒルベルトの10番目の問題を解いておらず、量子計算はチューリング計算不能性を超えない。Kieuの主張とは対照的である。